1の7乗根

1の5乗根と同じ方法で，1の7乗根つまり
$z^7=1$$\Leftrightarrow$$z^7-1=0$
の解を求めてみる．

$z^7-1=(z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)=0$
より
$z-1=0$または$z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$
解の1つは z=1
$z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$
において，z=0 は方程式を満たさないので，z≠0 より両辺を z^3 で割ると，
$z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=0$
$\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)+\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z+\frac{1}{z}\right)+1=0$

ここで，
$t=z+\frac{1}{z}$
とおくと，
$t^3=\left(z+\frac{1}{z}\right)^3$
$=z^3+3z^2\frac{1}{z}+3z\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}$
$=z^3+3z+\frac{3}{z}+\frac{1}{z^3}$
$=z^3+\frac{1}{z^3}+3\left(z+\frac{1}{z}\right)=z^3+\frac{1}{z^3}+3t$
より
$z^3+\frac{1}{z^3}=t^3-3t$

また，
$t^2=\left(z+\frac{1}{z}\right)^2$
$=z^2+2z\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}$
$=z^2+2+\frac{1}{z^2}$
より
$z^2+\frac{1}{z^2}=t^2-2$

したがって，
$\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)+\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z+\frac{1}{z}\right)+1=0$
$(t^3-3t)+(t^2-2)+t+1=0$
$t^3+t^2-2t-1=0$

この3次方程式をカルダノの解法で解く．
まず，2次の項を消去するために，
$t=y-\frac{1}{3}$
とおくと，
$\left(y-\frac{1}{3}\right)^3+\left(y-\frac{1}{3}\right)^2-2\left(y-\frac{1}{3}\right)-1=0$
展開して整理し，
$y^3-\frac{7}{3}y-\frac{7}{27}=0$　・・・（１）
さらに，
$y=u+v$
と置き換える．
$(u+v)^3-\frac{7}{3}(u+v)-\frac{7}{27}=0$

$(u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3=u^3+v^3+3uv(u+v)$より，
$u^3+v^3+3uv(u+v)-\frac{7}{3}(u+v)-\frac{7}{27}=0$
$u^3+v^3-\frac{7}{27}+(u+v)\left(3uv-\frac{7}{3}\right)=0$
この等式を満たすには，
$u^3+v^3-\frac{7}{27}=0$　かつ，　$\left(3uv-\frac{7}{3}\right)(u+v)=0$
$y=u+v=0$は（１）を満たさないので，$y=u+v\ne0$だから，
$u^3+v^3-\frac{7}{27}=0$（２）　かつ，　$3uv-\frac{7}{3}=0$
を満たす u, v を求める．
$3uv-\frac{7}{3}=0$より
$3uv=\frac{7}{3}$
$v=\frac{7}{9u}$　（３）
を$u^3+v^3-\frac{7}{27}=0$に代入し，
$u^3+\left(\frac{7}{9u}\right)^3-\frac{7}{27}=0$
$u^3+\frac{343}{729u^3}-\frac{7}{27}=0$
両辺を$u^3$倍して
$\left(u^3\right)^2+\frac{343}{729}-\frac{7}{27}u^3=0$
これは$u^3$の2次方程式である．
$u^3=\frac{7}{54}(1\pm3\sqrt{3}i)$
よって，
$u^3=\frac{7}{54}(1\pm3\sqrt{3}i)$
$u^3=\frac{7}{54}(1+3\sqrt{3}i)$のとき，（２）より
$v^3=\frac{7}{27}-u^3=\frac{7}{54}(1-3\sqrt{3}i)$
$u^3=\frac{7}{54}(1-3\sqrt{3}i)$のとき，（２）より
$v^3=\frac{7}{27}-u^3=\frac{7}{54}(1+3\sqrt{3}i)$
であるから，どちらが u でも v もかまわないので，ここでは2次方程式の「±」の「＋」のほうを u^3，「－」のほうを v^3 とする．

これらの3乗根を解く．
$u^3=\frac{7}{54}(1+3\sqrt{3}i)$
$=\frac{28}{216}(1+3\sqrt{3}i)$
$=\frac{1}{6^3}(28+84\sqrt{3}i)$
より3乗根のひとつは，
$u=\frac{1}{6}(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}$
残りの二つはこれに，1の虚数3乗根
$\omega=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)$，　$\omega^2=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{3}i)$
をかけた，
$\frac{1}{6}(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\omega,\ \frac{1}{6}(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\omega^2$
である．

u から v を求める．まず，
$u=\frac{1}{6}(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}$
のとき，（３）より
$v=\frac{7}{9u}$
$=\frac{7\cdot 6}{9(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}}$
$=\frac{14}{3\left(28(1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}}$
$=\frac{14\left(28(1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}}{3\left(28(1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\left(28(1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}}$
$=\frac{14\left(28(1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}}{3\left(28(1+3\sqrt{3}i)28(1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}}$
$=\frac{14\left(28(1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}}{3\left(28^2(1+27)\right)^{\frac{1}{3}}}$
$=\frac{14\left(28(1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}}{3\left(28^3\right)^{\frac{1}{3}}}$
$=\frac{14\left(28(1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}}{3\cdot28}$
$=\frac{\left(28(1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}}{3\cdot2}$
$=\frac{\left(28(1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}}{6}$
$=\frac{1}{6}(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}$

残りの2つについても，
$u=\frac{1}{6}(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\omega$
のとき，（３）より
$v=\frac{7}{9u}$
$=\frac{7\cdot 6}{9(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\omega}$
$=\frac{1}{6}(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\frac{1}{\omega}$
$=\frac{1}{6}(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\frac{\omega^2}{\omega^3}$
$=\frac{1}{6}(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\omega^2$

同様に，
$u=\frac{1}{6}(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\omega^2$
のとき，（３）より
$v=\frac{7}{9u}$
$=\frac{1}{6}(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\omega$

となるから，
$y=u+v$
$t=y-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}+u+v$
より t の3つの解は
$-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{6}(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}$
$-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\omega+\frac{1}{6}(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\omega^2$
$=-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{6}(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$
$-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\omega^2+\frac{1}{6}(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\omega$
$=-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\frac{-1-\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{6}(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$

$t=z+\frac{1}{z}$
から，両辺を z 倍して，
$tz=z^2+1$
$z^2-tz+1=0$
$z=\frac{t\pm\sqrt{t^2-4}}{2}$

ここで，
$t=-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{6}(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}$
のときを考え，残りの2つは省略．
$t^2-4=\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{6}(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\right)^2-4$
$=\frac{1}{36}\left(-84-4(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}+(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{2}{3}}-4(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}+(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{2}{3}}\right)$
$\sqrt{t^2-4}=$
$\frac{1}{6}\sqrt{-84-4(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}+(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{2}{3}}-4(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}+(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{2}{3}}}$

よって，z は，
$\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{6}(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\right.$
$\left.\pm\frac{1}{6}\sqrt{-84-4(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}+(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{2}{3}}-4(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}+(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{2}{3}}}\right)$
$=\frac{1}{12}\left(-2+(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}+(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}\right.$
$\left.\pm\sqrt{-84-4(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}+(28-84\sqrt{3}i)^{\frac{2}{3}}-4(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{1}{3}}+(28+84\sqrt{3}i)^{\frac{2}{3}}}\right)$

google電卓は，虚数計算ができるので，それを使ってこの解を数値計算すると結果は，
0.623489802 + 0.781831482 i
で，これが6個ある「1の虚数7乗根」の中のひとつの数値解である．

実際，この値は，
cos(360度/7)+sin(360度/7)i
と同じなので，複素平面上の原点を中心とする単位円の円周を7等分しているといえる．

実際7乗すると，
0.999999998 - 2.815809 × 10^(-9) i　＝　0.999999998+0.000000002815809i
となり誤差を除けば 1+0i ＝ 1 より確かに1の7乗根といえる．

さらに，この計算では3次方程式を解くので，正7角形はコンパスと定規での作図が不可能であることがわかる．コンパスと定規で作図できる計算は，四則計算と平方根だけだから，方程式で言えば，2次方程式（とその組み合わせ）の解までしか作図できない．＞正多角形


・・・大量の単純作業はしらふだと途中で挫折するが，酔っ払っていると一気に進むなー

＞追記「-1 の7乗根」