微分関係の定理では標記のような条件がつく．
たとえば，平均値の定理
$f(x)$が閉区間$[a,\ b]$で連続，開区間$(a,\ b)$で微分可能なら，
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$ ただし，$a\lt c\lt b$
となる，実数$c$が少なくともひとつ存在する．
まぁ言っていることは左辺は，$a$から$b$にかけての平均の傾き．
その平均の傾きと同じになる関数上の点があるよ．ということ
絵に描くと，
で，$a$，$b$ は曲線を切る直線の切り口の $x$座標 で，その直線の傾きと同じになる接線があるよ．
ということで，直感的にはあったりまえのこと．
その当たり前のことをいう条件が，
「閉区間$[a,\ b]$で連続，開区間$(a,\ b)$で微分可能」
で，これが平均値の定理の条件となる．
もちろん区間の中に不連続な点があったり，滑らかでない（微分可能でない）点があったりしたら，平均の傾きと同じ傾きの場所をなくすのは簡単である．
問題は端の点を含むか含まないかという微妙な議論．
閉区間$[a,\ b]$とは「$a$以上，$b$以下」つまりイコールつきの不等号で，「$a\le x\le b$」と表され，端点を区間に含む．
開区間$(a,\ b)$とは「$a$を超え，$b$未満」つまりイコールなしの不等号で，「$a\lt x\lt b$」と表され，端点を区間に含まない．
だから，条件を言い換えると
「端を含めて連続（つながってること），端を含めず微分可能（傾きがある）」
ということになる．
端を含もうが含むまいが大勢に影響はないし，平均値の定理は端点で傾きがある（微分可能）には越したことがない．しかし，傾きが無くても（微分できなくても），成り立つ定理といえる．
微分可能な条件が端点を含む必要がないのは，平均の傾きと同じ傾きの場所が「区間の間にある」と言っているからである．（$a\lt c\lt b$）
しかし，普通の関数の絵を考えると，端点で微分不可能な状況をつくるのは無理で，上の絵は「閉区間でも微分可能」な絵である．
とうことで，端点で傾きが無い（微分が無い）関数で，平均値の定理を作ってみようと思う．
たとえば，円の上半分の関数を考える．
$f(x)=\sqrt{1-x^2}$
原点を中心とする半径1の円の上半分．
円なので，どこでも接線がひける．
ということはどこでも傾きがある（微分可能）かな？
そうは問屋が卸さない．
端の点では，接線が垂直になる．
垂直な直線の「傾きは無い」．
微分係数は傾きのことだから，傾きが無い以上「微分可能ではない」といえる．
実際，微分の定義に従って，$-1$や$1$のときの微分係数（傾き）を計算すると，無限大に発散してしまい，極限＝微分係数 が存在しないから「微分可能でない」
ところが，端の点を区間に入れて，「傾きの平均」を考えると，
「その平均の傾きと同じになる関数上の点がある．」
ことがわかる．実際次のような絵の状態．
端の点 $x=-1$ では傾きは無い（微分できない）が，
「その平均の傾きと同じになる関数上の点がある．」
という状態になっている．
端点で微分できないからといって，平均値の定理から排除する理由は無い．
したがって，
「端を含めてつながって，端を含めず傾きがある」
という条件にし，それを専門用語で，
「閉区間で連続，開区間で微分可能」
と表現する．
さて，「微分可能」とは「なめらか」ということでもある．（円は滑らかだが，傾きという意味で微分が存在しない点がある）
滑らかでない関数の例としては，絶対値の関数．
$g(x)=|x|$
原点で微分可能ではない．（微分の定義において，左極限と右極限は一致せず，傾きが特定できない）
これの，$-1$ から $1$ にかけての平均の傾きは$0$．
でも，見ての通り，関数上に傾き$0$になる場所はないから，連続でも区間内に傾きが特定できない場所（微分可能でない場所）があると，平均値の定理は成り立たない例である．
しかし，$0$ から $1$ にかけての平均の傾きは$1$ で，関数上のその傾きはその区間全体にわたる．
つまり，端の点で微分可能ではなくても，平均値の定理は成り立つ例となる．
