log((a+sqrt(x^2+a^2))/x) の積分

$\int\log\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}dx$

は部分積分の公式（積の微分公式 (uv)'=u'v+uv' の両辺を積分して移項したもの）
$\int u'v=uv-\int uv'$
を使う．この公式において，

$u'=1$
$v=\log\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}$
と考えると，
$u=x$
$v'=\frac{1}{\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}}\left(\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}\right)' \\ \hspace{5mm} =\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}\left(\frac{(a+\sqrt{x^2+a^2})'x-(a+\sqrt{x^2+a^2})(x)'}{x^2}\right) \\ \hspace{5mm} =\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}\left(\frac{(\sqrt{x^2+a^2})'x-(a+\sqrt{x^2+a^2})1}{x^2}\right)$

ここで，
$(\sqrt{x^2+a^2})'=\frac{1}{2\sqrt{x^2+a^2}}(x^2+a^2)' \\ \hspace{5mm} =\frac{1}{2\sqrt{x^2+a^2}}(2x) \\ \hspace{5mm} =\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$
より
$v'=\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}\left(\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}x-(a+\sqrt{x^2+a^2})}{x^2}\right) \\ \hspace{5mm} =\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}\left(\frac{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+a^2}}-(a+\sqrt{x^2+a^2})}{x^2}\right) \\ \hspace{5mm} =\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}\cdot\frac{x^2-(a+\sqrt{x^2+a^2})\sqrt{x^2+a^2}}{x^2\sqrt{x^2+a^2}} \\ \hspace{5mm} =\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}\cdot\frac{x^2-a\sqrt{x^2+a^2}-(x^2+a^2)}{x^2\sqrt{x^2+a^2}} \\ \hspace{5mm} =\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}\cdot\frac{-a\sqrt{x^2+a^2}-a^2}{x^2\sqrt{x^2+a^2}} \\ \hspace{5mm} =\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}\cdot\frac{-a(\sqrt{x^2+a^2}+a)}{x^2\sqrt{x^2+a^2}} \\ \hspace{5mm} =\frac{-a}{x\sqrt{x^2+a^2}}$

したがって，
$\int\log\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}dx \\ \hspace{5mm} =x\log\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}- \int x\cdot\frac{-a}{x\sqrt{x^2+a^2}} dx \\ \hspace{5mm} =x\log\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}+a \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx$

後ろの部分は，
$x+\sqrt{x^2+a^2}=t$
とおくと，
$\left(\frac{x}{1+\sqrt{x^2+a^2}}\right)dx=dt \\ \frac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=dt \\ \frac{t}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=dt \\ \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\frac{1}{t}dt$
より，
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx \\ \hspace{5mm} =\int\frac{1}{t}dt \\ \hspace{5mm} =\log t \\ \hspace{5mm} =\log(x+\sqrt{x^2+a^2})$

ゆえに，
$\int\log\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}dx \\ \hspace{5mm} =x\log\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}+a \log(x+\sqrt{x^2+a^2})$

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