検索語から

「cos x の sin x 乗の微分」で検索されたが，検索されたページにはそれらの単語はあるものの，別の内容であった．
せっかく検索されたから書いておくか．高校の数学III．

$y=(\cos x)^{\sin x}$の微分
両辺の自然対数を取る．
$\log y = \log (\cos x)^{\sin x} \\ \log y = \sin x \log (\cos x)$
両辺を x で微分すると，
$\frac{y'}{y} = (\sin x)' \log (\cos x) +\sin x (\log (\cos x))' \\ \hspace{10mm} = \cos x \log (\cos x) +\sin x \frac{1}{\cos x}(\cos x)' \\ \hspace{10mm} = \cos x \log (\cos x) +\sin x \frac{1}{\cos x}(-\sin x) \\ \hspace{10mm} = \cos x \log (\cos x) -\frac{\sin^2 x }{\cos x} \\ \hspace{10mm} = \frac{\cos^2 x \log (\cos x) -\sin^2 x }{\cos x}$
両辺を y 倍して，
$y' = y\frac{\cos^2 x \log (\cos x) -\sin^2 x }{\cos x} \\ \hspace{10mm} = (\cos x)^{\sin x}\frac{\cos^2 x \log (\cos x) -\sin^2 x }{\cos x} \\ \hspace{10mm} = (\cos x)^{\sin x-1}(\cos^2 x \log (\cos x) -\sin^2 x)$

グラフ