虚数に大小はない

正確には「計算のできる大小」はない．専門用語で「順序体ではない」

高校レベルでは「2乗すると-1になる数を i と書く」と説明している．これは定義ではない．これで定義すると破綻するが，その辺の事情はここでは無視して，「2乗すると-1になる数が i」という説明から，虚数に大小のないことを示す．

大小があるなら，0との大小がつくはずである．

i>0 と仮定する．つまり「iはプラス」と仮定する．
両辺に i をかける．
i^2>0×i
-1>0
これは矛盾．

i<0 と仮定する．つまり「iはマイナス」と仮定する． 両辺に i をかける．マイナスをかけると不等号の向きが変わるので， i^2>0×i
-1>0
これは矛盾．

正の数でも負の数でもなければ，0?
i=0 と仮定．
両辺に i をかける．
i^2=0×i
-1=0
これは矛盾．

ということで，虚数単位 i に（計算のできる）大小を考えることはできない．

計算のできない大小のひとつは「辞書式順序」
実部で大小を決め，実部が同じなら虚部で大小を決める．これですべての複素数に大小が決まる．
a+bi < c+di ⇔ a < c or (a = c & b < c)
例：
2+100i < 3+i，
4+i < 4+2i

0 < i （0+0i < 0+1i）なので，上記の通り，計算は破綻する．