論理計算と連続の概念

（長々と書いてます）

∃x∀y(P(x)→P(y)) is tautology
証明
tautology p∨￢p （排中律 law of Excluded Middle）より
∃x(￢P(x))∨￢(∃x(￢P(x)))　　　…(1)
も tautology．
￢(∃x￢P(x))
⇔∀x￢￢P(x) （de Morgan の法則）
⇔∀xP(x)　　　(これも排中律)
によって (1)を置き換えて
∃x(￢P(x))∨(∀xP(x))
∀x は変数名によらないから∀yP(y)でもいい．
∃x￢P(x)∨∀yP(y)
∀yは外に出せる．
∃x∀y（￢P(x)∨P(y)）
ゆえに（￢p∨q と p⇒q は同値だから）
∃x∀y（P(x)⇒P(y)）　は tautology

これは論理計算の練習問題．
論理計算に慣れると，命題の否定を作るのはやさしい．

例えば，「関数f(x)がaで連続」の定義は
すべてのε＞0について，あるδ＞0が存在し，どんなxについても
「|x-a|＜δ　ならば　|f(x)-f(a)|＜ε」
論理記号を使うと
∀ε＞0∃δ＞0∀x（|x-a|＜δ→|f(x)-f(a)|＜ε）

例1
$f(x)=x^2$
なら
$|f(x)-f(a)| = |x^2-a^2| = |(x+a)(x-a)| = |(x+a)||(x-a)|$
からδを
$|x-a|\lt \delta \lt \frac{\varepsilon}{|x+a|}$
のように取れば，
$|f(x)-f(a)| = |(x+a)||(x-a)| \lt \delta|(x+a)| \lt \varepsilon$
とできる．

つまり，すべての$\varepsilon\gt 0$について，ある$0\lt\delta\lt \frac{\varepsilon}{|x+a|}$が存在し，どんな$x$についても
「$|x-a|\lt\delta$　ならば　$|x^2-a^2|\lt \varepsilon$」
なので，$x^2$ はすべての $x=a$ で連続であり，そこから「$x^2$ は連続関数」といえる．

例2
f(x)=「x以下の最大の整数」
はグラフが階段状になるから，xが整数のときで不連続のグラフになるが，見た目ではなく連続の定義に反することを証明する．
たとえば，x=1 で不連続である．
証明
f(1)=1 であり，0＜x＜1 のとき，f(x)=0 である．
あるε=0.5>0をとれば，どんなδ>0をとっても，x=-δ/2+1＜1 が存在して
|x-1|=δ/2＜δ であって，|f(x)-f(1)|=|0-1|=1≧0.5=ε
となってしまい，確かにx=1で不連続．

論理計算ができれば，この命題が，連続の定義の否定になっていることがあきらかである．
∀ε＞0∃δ＞0∀x（P(x)→Q(x)）
の否定を作ると
∃ε＞0∀δ＞0∃x（P(x)∧￢Q(x)）
という形．
これを「意味」を考えてしまうと，とちゅうで何がなんだかわからなくなる．否定命題は機械的に作り出せねばならぬ．

∀（すべて）と∃（ある）の位置を変えたものは違う命題になる．
たとえば，
∀y≦4∃x(x^2>y) 　…　「すべてのy≦4について，あるxをとれば，x^2＞y」
x≦-√y　か √y≦x の x をとればいい．
つまり x の範囲は外側の y　に依存する．
∃x∀y≦4(x^2>y) 　…　「ある x をとれば，すべてのy≦4について x^2＞y」
x≦-2　か 2≦x でいい．
つまり x の範囲は個々の y とは無関係．

連続の定義も
∀a∀ε＞0∃δ＞0∀x（|x-a|＜δ→|f(x)-f(a)|＜ε）
∀aを∃の中に入れた
∀ε＞0∃δ＞0∀a∀x（|x-a|＜δ→|f(x)-f(a)|＜ε）
は連続よりもさらに条件の強い「一様連続」という概念である．
つまり連続では「δが a と ε に依存する」のに対して，一様連続では a には依存せず「δはεにのみ依存する」のである．

たとえば，x^2 では
∀a∀ε＞0∃δ＞0∀x（|x-a|＜δ→|x^2-a^2|＜ε）
$\delta\lt \frac{\varepsilon}{|x+a|}$という具合に δが a と ε に依存していることがわかるから，一様連続ではない連続である．

これが $\sin x$ では
$|\sin x-\sin a|=\left|2\cos\frac{x+a}{2}\sin\frac{x-a}{2}\right|$
$\leq \left|2\sin\frac{x-a}{2}\right|$ （cos は1以下だから）
$\leq \left|2\frac{x-a}{2}\right|$ （|sin x| は|x|以下だから）
$=|x-a|\lt \delta=\varepsilon$
で δ が ε にのみ依存し， a は無関係．つまり $\sin x$ は全区間「一様連続」である．

ところが（もう示さないが），$x^2$ だろうが $\frac{1}{x}$ だろうが連続関数であれば，どんな関数でも a≦x≦b といった区間に区切れば，「一様連続」であることが示され，これが積分の存在に大きく関わる．
積分区間がa≦x≦bといった形になるのは，関数の一様性に由来しているのだ．