1,1,2,3,5,8,13,21,34,・・・
ネットで検索すれば，自然界のフィボナッチ数列が山のように出てくる．
この極限はもちろん正の無限大に発散するが，隣り合う項の比
\frac{1}{1}=1
\frac{2}{1}=2
\frac{3}{2}=1.5
\frac{5}{3}=1.666
\frac{8}{5}=1.6
\frac{13}{8}=1.625
\frac{21}{13}=1.619
は，大きくなったり小さくなったりしながら，黄金比
\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.61803399
に限りなく近づく．
Fibonacci 数列a_nの定義は，
a_1=1，a_2=1，a_{n+2}=a_{n+1} + a_n
である．
Fibonacci 数列a_nの定義は，
a_1=1，a_2=1，a_{n+2}=a_{n+1} + a_n
である．
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5=8
このとき，
$x=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}$
$x=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}$
の極限を求める．
$a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$
を代入すると，
$x=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}}$
を代入すると，
$x=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}}$
$=\lim\frac{a_{n}+a_{n-1}}{a_n}}$
$=\lim(\frac{a_{n}}{a_n}+\frac{a_{n-1}}{a_n}})$
$=\lim(1+\frac{a_{n-1}}{a_n}})$
$=1+\lim\frac{a_{n-1}}{a_n}}$
\lim\frac{a_n}{a_{n-1}}=xより，
x=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}
$=1+\lim\frac{a_{n-1}}{a_n}}$
=1+\frac{1}{x}
x=1+\frac{1}{x} の両辺を x 倍して，
x^2=x+1
x^2-x-1=0
x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}
x>0 で，
x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
