フィボナッチ数の比

葉っぱの枚数や，螺旋の本数など自然界にたくさん出てくる数列＞以前の記事
1,1,2,3,5,8,13,21,34,・・・
ネットで検索すれば，自然界のフィボナッチ数列が山のように出てくる．

この極限はもちろん正の無限大に発散するが，隣り合う項の比
  $\frac{1}{1}=1$

  $\frac{2}{1}=2$

  $\frac{3}{2}=1.5$

  $\frac{5}{3}=1.666$

  $\frac{8}{5}=1.6$

  $\frac{13}{8}=1.625$

  $\frac{21}{13}=1.619$

は，大きくなったり小さくなったりしながら，黄金比

  $\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.61803399$

に限りなく近づく．

Fibonacci 数列$a_n$の定義は，
　$a_1=1$，$a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1} + a_n$
である．

　$1+1=2$

　$1+2=3$

　$2+3=5$

　$3+5=8$

このとき，
　$x=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}$

の極限を求める．

　$a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$
を代入すると，
  $x=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}}$

  $=\lim\frac{a_{n}+a_{n-1}}{a_n}}$

  $=\lim(\frac{a_{n}}{a_n}+\frac{a_{n-1}}{a_n}})$

  $=\lim(1+\frac{a_{n-1}}{a_n}})$

  $=1+\lim\frac{a_{n-1}}{a_n}}$

$\lim\frac{a_n}{a_{n-1}}=x$より，

  $x=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}$

  $=1+\lim\frac{a_{n-1}}{a_n}}$

  $=1+\frac{1}{x}$  

$x=1+\frac{1}{x}$ の両辺を x 倍して，

  $x^2=x+1$

  $x^2-x-1=0$

  $x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$  

$x>0$ で，

  $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$  

x=1+1/x の両辺を x 倍して，

自然界の2つの整数比は，黄金比に近づこうとして，隣り合うフィボナッチ数になることが多いらしい．
黄金比は正5角形にたくさん出てくる．