分数の割り算にみる数学における「定義」の意味

「分母と分子を逆にしてかける」と習う．その理由．

数学的には，割り算は逆数の積と定義されている．
つまり「定義より明らか」であるといえる．
実際，
$a\div b=a\times\frac{1}{b}$
と定義されているので，
$b=\frac{p}{q}$ ならば $\frac{1}{b}=\frac{q}{p}$
より
$a\div\frac{p}{q}=a\times\frac{q}{p}$
となる．

数学的定義と，実際の「わかった」感覚は別物なので，算数的アプローチ．
算数的には
「割り算は掛け算の逆算」といえる．
その理由は実際に割り算をすればわかる．
$12\div 3$では
九九の3の段を唱えていって$3\times 4=12$に到達したときに
$12\div 3=4$
と突き止められる．
ということは
$12\div 3=4$
の根拠は
$12=3\times 4$
ということである．
このことを分数の計算に置き換えてみればいいのである．

$\frac{3}{7}\div \frac{5}{6}$
を考える．
$\frac{3}{7}\div \frac{5}{6}=x$
とおけば
$12\div 3=x$の根拠となる掛け算で$12=3\times x$となる$x$を3の段を唱えて突き止めたように，
$\frac{3}{7}= \frac{5}{6}\times x$
を満たす $x$を突き止めればよいことがわかる．
もちろん$\frac{5}{6}$の段の九九はないから，ここでは別の方法を使う．
左辺と右辺をとりかえて，
$\frac{5}{6}\times x=\frac{3}{7}$
とする．
両辺に
$\frac{5}{6}$の逆数$\frac{6}{5}$をかけると$x$の係数を1にして払うことができる．
$\frac{6}{5}\times\frac{5}{6}\times x=\frac{3}{7}\times\frac{6}{5}$
$1\times x=\frac{3}{7}\times\frac{6}{5}$
$x=\frac{3}{7}\times\frac{6}{5}$
したがって，
$\frac{3}{7}\div \frac{5}{6}=\frac{3}{7}\times\frac{6}{5}$
といえるから「分母と分子を逆にしてかける」ことがわかる．

まぁ「これでつじつまが合うから」という理由に近い．
ほかにも，ようかんを切ったりといった実例でいくらでも「つじつまあわせ」をすることが可能である．

もともと数学とは，「つじつまが合うものにしか応用しない」学問であるから当然だし，つじつまが合わない学問は数学の対象外である．

そして，「理由」というのは「現実世界へのつじつまあわせ」であるから，数学で内部完結するには「逆数をかけるという定義」にしてしまうのが手っ取り早い．
数学では「・・・の性質をもつものを・・・とする」と，性質から定義をすることが多くて，
「こんなもの定義といえるのか？」
と思う人も多いだろう．

「意味」と「定義」は別物なのである．

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