リゾルベントの値

-1 の7乗根「リゾルベントの3乗の積」のつづき

前回までで，「リゾルベントの3乗の和」と，「リゾルベントの3乗の積」が計算できた．

和と積がわかれば，2次方程式を解いて，それぞれ求まる．
和と積からそれぞれ元の数を求める問題は，4000年前のバビロンの粘土板に書かれるくらい古い問題である．＞YBC 4663

深く考えなければ，連立方程式 u＋v＝和，uv＝積 から，
v＝和－u を代入して，
u(和－u)＝積
和u－u^2＝積
0＝－和u＋u^2+積
u^2－和u＋積＝0
となるけれど，高校の数学IIで扱う「解と係数との関係」から和 a＋b と積ab がわかれば，それぞれは，
(u－a)(u－b)＝u^2－和u＋積＝0
の解となる．

ラグランジュ・リゾルベントの3乗の和は -7，3乗の積は 343．
つまり，
\(L_{1}^3+L_{2}^3=-7\)， \(L_{1}^3L_{2}^3=343\)
なので，ラグランジュリゾルベントの3乗 \(L_{1}^3\)，\(L_{2}^3\)は
\(u^2-(-7)u+343=0\)
の解である．これを解いて，
\(u=\frac{7}{2}(-1\pm3\sqrt{3}i)\)

和と積から作られたこの2根は対称だから，どちらが\(L_{1}^3\)でも，\(L_{2}^3\)でもよい．
\(L_{1}^3=\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\)
\(L_{2}^3=\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\)
とすると，
\(L_{1}=\left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}=2.20291+1.46533i, \\
\left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\omega=-2.37047+1.17511i, \\ \left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\omega^2=0.167563-2.64044i\)
\(L_{2}=\left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}=2.20291-1.46533i, \\
\left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\omega=0.167563+2.64044i, \\ \left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\omega^2=-2.37047-1.17511i\)
ただし，ωは1の原始3乗根\(\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)

こうして見ると，ラグランジュリゾルベントは，カルダノの方法における，u，v であることがわかる．＞以前の記事「1の7乗根」

ここから，リゾルベントと解との関係で解を復元してゆく．
（つづく）