リゾルベントの3乗の積

（－1の7乗根「リゾルベントの3乗の和」のつづき）
和の次は，3乗の積

ラグランジュリゾルベント \(L_{1}\)，\(L_{2}\)
\(L_{1}=\omega\alpha+\omega^2\beta+\gamma\)
\(L_{2}=\omega^2\alpha+\omega\beta+\gamma\)
に対し，それぞれの3乗の積
\(L_{1}^3L_{2}^3\)
を計算する．


\(L_{1}^3L_{2}^3=\left(L_{1}L_{2}\right)^3\) より，先に積\(L_{1}L_{2}\) を求めてから，3乗する．

\(L_{1}L_{2}=(\omega\alpha+\omega^2\beta+\gamma)(\omega^2\alpha+\omega\beta+\gamma)\)
を展開して，
\(=\omega^3\alpha^2+\omega^4\alpha\beta+\omega^2\alpha\gamma\\
+\omega^2\alpha\beta+\omega^3\beta^2+\omega\beta\gamma\\
+\omega\alpha\gamma+\omega^2\beta\gamma+\gamma^2\)
\(\omega\)は1の3乗根なので，\(\omega^3=1\)，\(\omega^4=\omega\) などとなるから，
\(=\alpha^2+\omega\alpha\beta+\omega^2\alpha\gamma\\
+\omega^2\alpha\beta+\beta^2+\omega\beta\gamma\\
+\omega\alpha\gamma+\omega^2\beta\gamma+\gamma^2\)
同類項をまとめて，
\(=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\\+(\omega^2+\omega)\alpha\beta+(\omega^2+\omega)\beta\gamma+(\omega^2+\omega)\gamma\alpha\)
\(\omega^2+\omega+1=0\)を使いたいから，括弧内に 1 を足して，つじつま合わせに後ろで引き算．
\(=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\\
+(\omega^2+\omega+1)\alpha\beta+(\omega^2+\omega+1)\beta\gamma+(\omega^2+\omega+1)\gamma\alpha\\
-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\)
\(\omega^2+\omega+1=0\)を代入．
\(=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\\
+0\alpha\beta+0\beta\gamma+0\gamma\alpha\\
-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\)
\(=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\\
-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\)
さらに，恒等式\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)を用いて，次のように形を変える．
\(=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2\alpha\beta-2\beta\gamma-2\gamma\alpha\\
-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\)
同類項をまとめて
\(=(\alpha+\beta+\gamma)^2-3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\)

ここで，スタート時に作った解と係数との関係は次のとおりで，＞以前の記事
2次の項　\(\alpha+\beta+\gamma=0\)
1次の項　\(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-\frac{7}{3}\)
定数項　　\(\alpha\beta\gamma=-\frac{7}{27}\)

これを用いて，リゾルベントの積は
\(L_{1}L_{2}=(\alpha+\beta+\gamma)^2-3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\\=0^2-3\left(-\frac{7}{3}\right)=7\)
となる．
したがって，その3乗は，
\(L_{1}^3 L_{2}^3=(L_{1} L_{2})^3=7^3=343\)

「リゾルベントの値」につづく