ラグランジュ・リゾルベント

（「-1 の7乗根」のつづき）
前回の記事には，電気系の2人の方から複素平面についてコメント（記事とfacebook）があった．さすが電気系では複素平面は基礎的素養だ．複素平面での1の冪根については，だいぶ前に記事にした．＞以前の記事「1の累乗根（x^n-1=0 の解）の図」

ついでに電気系でない方からのコメントには「虚数=拒数です．」とも．世の中の 99.9・・・% の人にとっては，数学自体が「数が苦」ｗ．数学が苦手なのはこの国ではデファクトスタンダードだ．＞以前の記事「不得意科目は数学」
だから「数学が苦手」は，世間一般から絶大な支持がある大変受けの良い自虐セリフで，まぁこんな仕事をしていると四六時中聞かされる．「できなかったけど結構好きだった」なんて言ってくれるのは，スナックのチャンネーくらいかなｗ


チルンハウス変換で，元の方程式から2次の項がなくなるように，変形した方程式．
$y^3-\frac{7}{3}y+\frac{7}{27}=0$
この方程式の解を$\alpha$，$\beta$，$\gamma$ とすると，$(y-\alpha)(y-\beta)(y-\gamma)=0$ なので，これを展開して，
$y^3-(\alpha+\beta+\gamma)y^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)y-\alpha\beta\gamma=0$
より与えられた方程式の係数から次の，解と係数との関係が成り立つ．

2次の項　$\alpha+\beta+\gamma=0$
1次の項　$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-\frac{7}{3}$
定数項　　$\alpha\beta\gamma=-\frac{7}{27}$

つづいて，1の原始3乗根$\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$に対し，ラグランジュ・リゾルベントは次の通り．＞以前の記事「リゾルベント」
$\omega^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$，$\omega^3=1$，$\omega^4=\omega^3\omega=\omega$などとなるので，

$\omega^1\alpha+\omega^2\beta+\omega^3\gamma=\omega\alpha+\omega^2\beta+\gamma=L_{1}$
$\omega^2\alpha+\omega^4\beta+\omega^6\gamma=\omega^2\alpha+\omega\beta+\gamma=L_{2}$
$\omega^3\alpha+\omega^6\beta+\omega^9\gamma=\alpha+\beta+\gamma=0$（解と係数との関係）

リゾルベントと解の関係．

3つのリゾルベントを辺々加えると
$(\omega+\omega^2+1)\alpha+(\omega^2+\omega+1)\beta+3\gamma=L_{1}+L_{2}$
ここで，
$\omega^2+\omega+1=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}+\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}+1=0$
より，$0\alpha+0\beta+3\gamma=L_{1}+L_{2}$なので，
$3\gamma=L_{1}+L_{2}$
となる．

さらに，リゾルベントの両辺に適宜 $\omega$ をかけて，
$\omega^2\alpha+\omega^3\beta+\omega\gamma=\omega L_{1}$
$\omega^4\alpha+\omega^3\beta+\omega^2\gamma=\omega^2L_{2}$
$\alpha+\beta+\gamma=0$
とすれば，$\omega^3=1$ より
$\omega^2\alpha+\beta+\omega\gamma=\omega L_{1}$
$\omega\alpha+\beta+\omega^2\gamma=\omega^2L_{2}$
$\alpha+\beta+\gamma=0$
となり，辺々加えると，
$(\omega^2+\omega+1)\alpha+3\beta+(\omega+\omega^2+1)\gamma=\omega L_{1}+\omega^2 L_{2}$
$0\alpha+3\beta+0\gamma=\omega L_{1}+\omega^2 L_{2}$
$3\beta=\omega L_{1}+\omega^2 L_{2}$

$\alpha$を残すには，
$\omega^3\alpha+\omega^4\beta+\omega^2\gamma=\omega^2 L_{1}$
$\omega^3\alpha+\omega^2\beta+\omega^1\gamma=\omega L_{2}$
$\alpha+\beta+\gamma=0$
とすれば，$\omega^3=1$ より
$\alpha+\omega \beta+\omega^2\gamma=\omega^2 L_{1}$
$\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma=\omega L_{2}$
$\alpha+\beta+\gamma=0$
となり，辺々加えると，
$3\alpha+(\omega+\omega^2+1)\beta+(\omega^2+\omega+1)\gamma=\omega^2 L_{1}+\omega L_{2}$
$3\alpha+0\beta+0\gamma=\omega^2 L_{1}+\omega L_{2}$
$3\alpha=\omega^2 L_{1}+\omega L_{2}$
を得る．

つまり，リゾルベントと解との関係は，
$3\alpha=\omega^2 L_{1}+\omega L_{2}$
$3\beta=\omega L_{1}+\omega^2 L_{2}$
$3\gamma=L_{1}+L_{2}$

（「リゾルベントの3乗の和」につづく）