-1 の7乗根

-1 の7乗根を求めてみる．

x^7=-1 より x^14=1 だから，1の原始14乗根である．

以前，1の7乗根はカルダノの方法で解いたけど（＞以前の記事），同じ方法でやっても能がないので，ラグランジュリゾルベントを使ってみるかな．コメントで，-1 の7乗根の求め方を所望されたので．


\(x^7=-1\)
\(x^7+1=0\)
\((x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)=0\)
\(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1=0\)
両辺を x^3 で割ると，
\(x^3-x^2+x-1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=0\)
\(x^3+\frac{1}{x^3}-\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+x+\frac{1}{x}-1=0\)



\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^3=x^3+3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}=x^3+\frac{1}{x^3}+3\left(x+\frac{1}{x}\right)\)
より，
\(x+\frac{1}{x}=t\)とおくと，
\(x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right)=t^3-3t\)

\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}+2\)
より，
\(x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2=t^2-2\)

したがって，
\(x^3+\frac{1}{x^3}-\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+x+\frac{1}{x}-1=0\)
は，
\((t^3-3t)-\left(t^2-2\right)+t-1=0\)
なので，
\(t^3-t^2-2t+1=0\)
となる．

この3次方程式を解く． t の式を \(at^3+bt^2+ct+d=0\) と置いて，以下の同じ手順を踏めば，3次方程式の解の公式が得られるから，この方法も3次方程式の解の公式を得る手順となる．


まず，2次の項をなくす．このような変形を，チルンハウス変換というらしい．知らんかった．
\(t=y+\frac{1}{3}\)と書き換え，
\(\left(y+\frac{1}{3}\right)^3-\left(y+\frac{1}{3}\right)^2-2\left(y+\frac{1}{3}\right)+1=0\)
を展開して整理すれば，
\(y^3-\frac{7}{3}y+\frac{7}{27}=0\)
となり2次の項がなくなり，この方程式を解くことを考える．

ここまでは，カルダノの方法と同じ．（「ラグランジュ・リゾルベント」につづく）