リゾルベントの3乗の和

（－1の7乗根「ラグランジュリゾルベント」のつづき）

ラグランジュリゾルベント $L_{1}$，$L_{2}$
$L_{1}=\omega\alpha+\omega^2\beta+\gamma$
$L_{2}=\omega^2\alpha+\omega\beta+\gamma$
の3乗の和
$L_{1}^3+L_{2}^3$ を計算する．

そのまま展開してもできなくはない．＞追記「x^3+y^3+z^3-3xyzの因数分解の使い道」
が，次の恒等式を用いるのが簡単．

$(a+b)(a+\omega b)(a+\omega^2 b)=a^3+b^3$
証明
左辺$=(a+b)(a+\omega b)(a+\omega^2 b)$
$=(a^2+ab+\omega ab+\omega b^2)(a+\omega^2 b)$
$=a^3+a^2b+\omega a^2b+\omega ab^2 \\+ \omega^2a^2 b+\omega^2 ab^2+\omega^3 ab^2+\omega^3 b^3$
$=a^3+(1+\omega+\omega^2)a^2b+(\omega+\omega^2+1) ab^2 +\omega^3 b^3$
$=a^3+0a^2b+0 ab^2 +1b^3$
$=a^3+b^3$

つまり，$L_{1}^3+L_{2}^3=(L_{1}+L_{2})(L_{1}+\omega L_{2})(L_{1}+\omega^2 L_{2})$ である．

解とリゾルベントとの関係＞以前の記事
$3\alpha=\omega^2 L_{1}+\omega L_{2}$
$3\beta=\omega L_{1}+\omega^2 L_{2}$
$3\gamma=L_{1}+L_{2}$
から，
$3\omega\alpha=\omega^3 L_{1}+\omega^2 L_{2}=L_{1}+\omega^2 L_{2}$
$3\omega^2\beta=\omega^3 L_{1}+\omega^4 L_{2}=L_{1}+\omega L_{2}$

よって，
$L_{1}^3+L_{2}^3=(L_{1}+L_{2})(L_{1}+\omega L_{2})(L_{1}+\omega^2 L_{2})\\=(3\gamma)(3\omega^2\beta)(3\omega\alpha)=27\omega^3\alpha\beta\gamma\\=27\alpha\beta\gamma$

解と係数との関係から
$L_{1}^3+L_{2}^3=27\alpha\beta\gamma=27\left(\frac{-7}{27}\right)=-7$

（3乗の積につづく）