極形式

1. $\sqrt{2}+1+i$
2. $1+(\sqrt{3}+2)i$

極形式は
絶対値×（cos偏角 + i sin偏角）
なので，絶対値を求め，偏角を計算する．
複素数の絶対値は，√((実部)^2+(虚部)^2)で，元の複素数を絶対値でくくり出せば，実部が cos偏角，虚部が sin偏角 となる．

1. 実部 $\sqrt{2}+1$，虚部は虚数単位 i の係数 1．
この複素数の絶対値は，√((実部)^2+(虚部)^2) だから，$\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2+1^2}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}$
これで，元の複素数をくくる．
　　$\sqrt{2}+1+i=\sqrt{4+2\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}+i\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}\right)$
つまり $\sqrt{4+2\sqrt{2}}$ でくくられた後ろの複素数の
実部は $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}=\cos\theta$
虚部は $\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}=\sin\theta$
となるθを求めればよい．

実部
$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}\\ =\sqrt{\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}}\\ =\sqrt{\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}}\\ =\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}}\\ =\sqrt{\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}\\ =\sqrt{\frac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}} =\cos\frac{\pi}{8}$


虚部
$\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}\\ =\sqrt{\frac{1}{4+2\sqrt{2}}}\\ =\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}}\\ =\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}(2-1)}}\\ =\sqrt{\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}} =\sin\frac{\pi}{8}$

よって，極形式は
$\sqrt{2}+1+i=\sqrt{4+2\sqrt{2}}\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right)$

2.実部 1，虚部$\sqrt{3}+2$ より絶対値は
$\sqrt{1^2+(\sqrt{3}+2)^2}=2\sqrt{2+\sqrt{3}}$
よって，
$\frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\cos\theta$
$\frac{\sqrt{3}+2}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\sin\theta$
となる偏角θを求める．

実部
$\frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}\\ =\sqrt{\frac{1}{4(2+\sqrt{3})}}\\ =\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4(4-3)}}\\ =\sqrt{\frac{1+\frac{-\sqrt{3}}{2}}{2}}\\ =\sqrt{\frac{1+\cos\frac{5\pi}{6}}{2}}\\ =\cos\frac{5\pi}{12}$

虚部
$\frac{\sqrt{3}+2}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}\\ =\sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})^2}{4(2+\sqrt{3})}}\\ =\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}\\ =\sqrt{\frac{1-\frac{-\sqrt{3}}{2}}{2}} =\sqrt{\frac{1-\cos\frac{5\pi}{6}}{2}} =\sin\frac{5\pi}{12}$

よって，極形式は
$1+(\sqrt{3}+2)i=2\sqrt{2+\sqrt{3}}\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right)$

どちらも，半角公式に持ち込むわけだが，そんなことに気づくのは，絶対値が2重根号だから．
幾何学的には，半角は√の計算だからである．（半角公式もそうなっている．）

でも，それに気づいたらな，先に，絶対値を求めるのではなく，元の複素数を2乗して絶対値と偏角を求め，そこからその平方根を de Moivre の定理で求めるほうが見通しがよいだろう．

1.
$(\sqrt{2}+1+i)^2 \\ =2(1+\sqrt{2}) + i 2(1+\sqrt{2}) \\ =2(1+\sqrt{2})(1+i) \\ =2(1+\sqrt{2})\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}) \\ =(2\sqrt{2}+4)(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}) \\ $
この平方根は，絶対値が平方根で，偏角は半分で，
$\sqrt{2\sqrt{2}+4}(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8})$

2. $(1+(\sqrt{3}+2)i)^2 =(-6-4\sqrt{3})+i(4+2\sqrt{3})$
の絶対値は，
$\sqrt{(-6-4\sqrt{3})^2+(4+2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{28+16\sqrt{3}}=4\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}=4(2+\sqrt{3})$
より，
$(1+(\sqrt{3}+2)i)^2 \\ =(-6-4\sqrt{3})+i(4+2\sqrt{3})\\ =4(2+\sqrt{3})\left(\frac{-6-4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}+i\frac{4+2\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)\\ =4(2+\sqrt{3})\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}\right)\\ =4(2+\sqrt{3})(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6})$
よって，求める極形式は，絶対値がルートで，偏角は半分．
$2\sqrt{2+\sqrt{3}}(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12})$

こっちの計算が簡単．