NHKスペシャル

昨日は数学の話題だった．

ポアンカレ予想＞NHK
保安彼よそーとか保安鰈よそーじゃないよ．

「単連結な３次元閉多様体は，３次元球面と同相である．」
なんて書くとなんのことやら．
番組では宇宙の形で説明していた．

「ロケットにロープをつけて飛ばし戻ってくると，宇宙にものすごく長いロープが張り巡らされる．それを手繰り寄せてすべて回収できれば，宇宙は丸いといえる．」
ということを，CG映像を用いて説明していた．
解決までの，多くの数学者の挑戦と挫折の道のり．
そして，証明に成功した数学者の失踪．

難問に向き合うとは，どういうことかということに迫る，よい番組であった．
「一度，数学の面白さに憑かれると，ほかの事は取るに足らないどうでもよいことに思えてくる．」
と，ある数学者が番組の中で言っていた．自分は難問には向き合えないけれど，難しいことや，ややこしいことに考えをめぐらすのが好きである．それをたまにこのブログに書いてしまうわけだが．

ペレリマンの論文はネットで読める．
＞1 2 3

ちなみに，われわれが普通に球面と思うボールの表面や地球の表面は，２次元球面である．
これは，円盤２枚を用意して，縁を糊付けし，中に空気を入れて球形に膨らませた表面である．
２次元ではポアンカレ予想は，すぐにわかる．一塊の粘土の表面に紐をかけて輪にしても，それをたぐりよせるのは簡単なことだ．そしてその表面は，ボールの表面に「同相」（連続変形可能）ということ．
つまり，全体を見るには３次元空間からしか見えないが，「紐をたぐる」のは２次元の表面だけできる話なのである．

３次元球面は，球体２個を用意して，表面にのりをつけて，４次元空間を使って２個の球体の面をすべて張り合わせる．そして，中に空気を入れて四次元球体にしたときの，「表面」が「３次元球面」である．

この形の全体を見るには，４次元空間が必要だが，ポアンカレ予想は３次元内部で紐をたぐることにより形が分かるはずだという主張である．

５次元以上の球面が1960年ころに解決し，４次元が1981年に解決した．
で，ペレリマンにより全面解決．