因数分解

本日の計算

$x^4-ax^3+(-2a^2+a+4)x^2+(-2a^2+4a)x+4a$の因数分解．
$x$の式と考えると4次式で手も足も出ない気がするが，$a$の2次式なら，高校のレベルのちょっと複雑なタスキガケである．タヌキケガじゃないよ．

展開して
$x^4-ax^3-2a^2x^2+ax^2+4x^2-2a^2x+4ax+4a$
$a$について整理
$(-2x^2-2x)a^2+(-x^3+x^2+4x+4)a+x^4+4x^2$
係数を因数分解
$-2x(x+1)a^2+(-x^3+x^2+4x+4)a+x^2(x^2+4)$

これが$pqa^2+(ps+qr)a+qx=(pa+q)(ra+s)$に因数分解されるとして，
$pq=-2x(x+1)$ は，$-2\cdot x(x+1)$ と $-2x\cdot (x+1)$ $-2(x+1)\cdot x$ などといった3通りくらいの積がある．
$rs=x^2(x^2+4)$ は $x\cdot x(x^2+4)$ と $x^2\cdot (x^2+4)$ と $1\cdot x^2(x^2+4)$ など3通りの積がある．

このすべての組み合わせでたすきがけを作ると，18通りのたすきがけができるが，そのなかで $a$ の係数が $(-x^3+x^2+4x+4)$ になるのは，
$p=-2x$ ，$q=x+1$
$r=x^2+4$，$s=x^2$
だけである．

したがって，
$-2x(x+1)a^2+(-x^3+x^2+4x+4)a+x^2(x^2+4)$
$=((-2x)a+x^2+4)((x+1)a+x^2)$
これを「x の2次式の積」のように直せば，
$=(x^2-2ax+4)(x^2+ax+a)$