数表

三角関数表
角度　　sin　　　　cos　　　　tan
0°　　0.0000　　1.0000　　0.0000
1°　　0.0175　　0.9998　　0.0175
2°　　0.0349　　0.9994　　0.0349
3°　　0.0523　　0.9986　　0.0524
・・・　　　・・・　　　　・・・　　　　・・・

どうやって計算したのですか？実測ですか？

数表を見ていると，そう思ってしまうが，実測ではない．数式があって計算をする．
江戸時代にはすでにその数表，八線表もあった．
実測でこんなに桁数を出すのは無理．
高校の教科書の数表はせいぜい小数4桁だが，昔の数表は7,8桁出ていた．そんな桁数を出すには実測では不可能である．
級数計算を使う．
x は弧度法（1周2πで測る）のとき，


$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots$

という級数展開（テイラー展開）になる．30度＝π/6 のとき sin30度=0.5 だが，google の電卓では第5項つまり，

$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}$

で，0.5に収束してしまった．

sin がわかれば残りは，級数展開は不要．
cos は角度をsinと逆順にすればOKだし，tan=sin/cos，八線表の cot, sec, cosec はそれぞれ tan, cos, sin の逆数．

表記の説明
3! は3の階乗 3・2・1=6
つまり
sin x = x-xxx/6+xxxxx/120-xxxxxxx/5040+xxxxxxxxx/362880
で google の電卓には十分な桁数が得られる．
実際の計算機やコンピュータではもっと高速なCORDICという方法を使っているが．

この級数展開において，x に虚数単位 I を（i^2=-1）を代入して，sin i=1.17520119 と求まる．コンピュータでは級数展開の多項式に代入しているだけである．

この機能のおかげでオイラーの等式$e^{\pi i}=-1$ 確かめられる．
$2^{(\tan i)}$ だって求まる．

虚数の角度にはどんな意味があるのだろう・・・

意味は無い．
微分の知識で級数展開（テイラー展開）したものに虚数を代入しただけ．値は求まり，「複素関数」として意味を持つが，いわゆる「角度」といった概念はない．
＞くろべえ: 虚数の三角関数

小学校で習う「大きさ」の概念を，負の数に引きずると，負の数が理解不能になる．
sin(虚数) で虚数に角度を引きずると複素関数は理解できない．

見えないものがなんの役に立つのか？

電磁気学．目に見えない電気，磁気の理論は複素数を使うとすっきり書ける．
＞くろべえ: 虚数の存在
＞くろべえ: １アマ国試

フェルマーの定理を解決した代数多様体論は複素数3次元，つまり実数6次元の世界．
複素関数論は非常に美しくきれいな世界．理論もすっきりしている．
実数に限定した微積分はなんだかどろどろしていて，本当に現実世界のようだ．