三角関数の合成

生徒からの質問．解答例にある式変形．
$(3+\sqrt{3})\sin\theta+(1+\sqrt{3})\cos\theta$
みたいな式が，ひとつの sin になっていた．合成がわからないという．

地道にやるだけだなぁ．

もともと，合成は，
$a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)$
となる r と α をうまく見つけることにある．
ここで，
$\sin\alpha=\frac{b}{r}$
なら，加法定理で一つの sin になるわけだ．


$b^2=(1+\sqrt{3})^2=4+2\sqrt{3}$
より，
$r^2=a^2+b^2=16+8\sqrt{3}$

したがって，
$r=\sqrt{16+8\sqrt{3}}=\sqrt{4(4+2\sqrt{3})}=2\sqrt{4+2\sqrt{3}}$
この二重根号がわからなかったようだ．これは b^2 の計算に出ている．つまり，
$2\sqrt{4+2\sqrt{3}}=2\sqrt{b^2}=2|b|=2(1+\sqrt{3})$
である．

もちろん，b^2 に気づかなくても，簡単に二重根号は外れる．
$\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{1+2\sqrt{3}+3}=\sqrt{1^2+2\cdot1\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=1+\sqrt{3}$

$r=2(1+\sqrt{3})$

$\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\alpha=\frac{1}{2}$

これらから，$\alpha=30^\circ$

$(3+\sqrt{3})\sin\theta+(1+\sqrt{3})\cos\theta\\=2(1+\sqrt{3})(\sin\theta\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos\theta\times\frac{1}{2})\\=2(1+\sqrt{3})(\sin\theta\cos30^\circ+\cos\theta\sin30^\circ)\\=2(1+\sqrt{3})\sin(\theta+30^\circ)$

黒板でやったときは，もっと簡潔に書いたのだけれど，記事にするとどうしても冗長になるなぁ．

実は，
$(3+\sqrt{3})\sin\theta+(1+\sqrt{3})\cos\theta\\=\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)\sin\theta+(1+\sqrt{3})\cos\theta\\=(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta)\\=2(\sqrt{3}+1)(\sin\theta\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos\theta\times\frac{1}{2})\\=2(\sqrt{3}+1)(\sin\theta\cos{30^\circ}+\cos\theta\sin{30^\circ})\\=2(\sqrt{3}+1)\sin(\theta+30^\circ)$
さくっとね．