格子点

「解答例を見ても，さっぱり・・・」
と質問を受けた．

「\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，\(2x+3y\leq6n\) の領域に含まれる格子点の個数を求めよ．」

解答例には図も，考え方も解説されていなかった．
これは考え方がわからないと，解答例はなんにも役に立たないなぁ．
解答例は，偶数段目と奇数段目を別々に分けて数えている．図にするとそうするわけがわかるのだが．


まず，
\(2x+3y\leq6n\)
は直線 \(2x+3y=6n\) の下側である．

そして，直線 \(2x+3y=6n\) は，\(\frac{x}{3n}+\frac{y}{2n}=1\) より，\(x\)軸上の切片が \((3n,0)\)，\(y\)軸上の切片が \((0,2n)\)

ここで，「？？？」な感じになっていたので，直線について解説．
直線の方程式は最初は，「\(y\)が，\(x\) の関数」になっている形を習う．
傾き\(m\)．\(y\)軸上の切片 \(k\) ならば，\(y=mx+k\) という寸法．
これって，\(y\)が，\(x\) の関数だから，変数としては対等ではなく，「\(x\)が偉くて，\(y\)が従っている感じ」を受けるし，「\(y\)軸に平行な直線」は傾きが存在しないから，表すことができない．

これを，2つの変数が対等にしたのが，「\(x\)，\(y\)の1次方程式」の形 \(ax+by+c=0\)．
ここまでは教科書に出ている．
もう一つ便利なのが，座標軸上の切片がわかる \(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1\)．実際，\(x=0\)や \(y=0\)
を代入すると，\(p\)，\(q\) がそれぞれ切片になっていることがわかる．
もちろんこれは，原点を通る直線を表すことはできないけれど．

さて，\(n=1\) のとき，\(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}\leq0\) で \((3,0)\) と \((0,2)\) を結ぶ直線上とその下の格子点である．つまり，
□□□
□□□
の対角線上及びその下の格子点を数える．
上辺より\(1+2+4\) となっている．

さて，\(n=2\) のとき，\(\frac{x}{6}+\frac{y}{4}\leq0\) で \((6,0)\) と \((0,4)\) を結ぶ直線上とその下の格子点である．つまり，
□□□
□□□
□□□□□□
□□□□□□
の左上から右下に直線を引いて，直線上とその下にある格子点を数えると，上から
\(1+2+4+5+7\)
となっている．

このパターンで増えていくわけだが，この数列の規則性を考える．

n がひとつ増えると，2段増えるが，そのことで，格子点の数は，2段上よりも3個増える．
ということは，数列の奇数番目と偶数番目はどちらも「公差3の等差数列」である．これで奇数段目と偶数段目で分ける理由がわかる．それは「2段ずつ増えているから」といえる．
これが「5段ずつ増える」なら「\(5k+1\)，\(5k+2\)，\(5k+3\)，\(5k+4\)，\(5k\)」段目ごとに分けるとどれも等差数列になるわけである．これが「考え方」

実際，奇数段目は
\(1+4+7\)
だし，偶数弾目は，
\(2+5\)
となる．

1,4,7 は初項1，公差 3 で一般項は \(3n-2\)，
2,5 初項2，公差 3 で一般項は \(3n-1\)，

そして，\(n=2\) のとき奇数段の項数は 3，偶数段の項数は2 だったから，
奇数段 \(3n-2\) の項数は \(n+1\)，偶数段 \(3n-1\) の項数は \(n\)．

ということで，
奇数段の格子点の数は
初項1，末項\(3(n+1)-2\)，項数 \(n+1\) より，
\(\frac{(1+3n+3-2)(n+1)}{2}=\frac{3n^2+5n+2}{2}\)

偶数段の格子点の数は
初項2，末項3n-1，項数 n より，
\(\frac{(2+3n-1)n}{2}=\frac{3n^2+n}{2}\)

それらの合計は
\(\frac{6n^2+6n+2}{2}=3n^2+3n+1\)
これが答え．

したがって，\(n=1, \cdots, 10\) のときの格子点の数は
\(1+2+4=7, \)
\(1+2+4+5+7=19, \)
\(1+2+4+5+7+8+10=37, \)
\(1+2+4+5+7+8+10+11+13=61, \)
\(1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16=91, \)
\(1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19=127, \)
\(1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20+22=169, \)
\(1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20+22+23+25=217, \)
\(1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20+22+23+25+26+28=271, \)
\(1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20+22+23+25+26+28+29+31=331\)