格子点

「解答例を見ても，さっぱり・・・」
と質問を受けた．

「$x\geq0$，$y\geq0$，$2x+3y\leq6n$ の領域に含まれる格子点の個数を求めよ．」

解答例には図も，考え方も解説されていなかった．
これは考え方がわからないと，解答例はなんにも役に立たないなぁ．
解答例は，偶数段目と奇数段目を別々に分けて数えている．図にするとそうするわけがわかるのだが．


まず，
$2x+3y\leq6n$
は直線 $2x+3y=6n$ の下側である．

そして，直線 $2x+3y=6n$ は，$\frac{x}{3n}+\frac{y}{2n}=1$ より，$x$軸上の切片が $(3n,0)$，$y$軸上の切片が $(0,2n)$

ここで，「？？？」な感じになっていたので，直線について解説．
直線の方程式は最初は，「$y$が，$x$ の関数」になっている形を習う．
傾き$m$．$y$軸上の切片 $k$ ならば，$y=mx+k$ という寸法．
これって，$y$が，$x$ の関数だから，変数としては対等ではなく，「$x$が偉くて，$y$が従っている感じ」を受けるし，「$y$軸に平行な直線」は傾きが存在しないから，表すことができない．

これを，2つの変数が対等にしたのが，「$x$，$y$の1次方程式」の形 $ax+by+c=0$．
ここまでは教科書に出ている．
もう一つ便利なのが，座標軸上の切片がわかる $\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1$．実際，$x=0$や $y=0$
を代入すると，$p$，$q$ がそれぞれ切片になっていることがわかる．
もちろんこれは，原点を通る直線を表すことはできないけれど．

さて，$n=1$ のとき，$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}\leq0$ で $(3,0)$ と $(0,2)$ を結ぶ直線上とその下の格子点である．つまり，
□□□
□□□
の対角線上及びその下の格子点を数える．
上辺より$1+2+4$ となっている．

さて，$n=2$ のとき，$\frac{x}{6}+\frac{y}{4}\leq0$ で $(6,0)$ と $(0,4)$ を結ぶ直線上とその下の格子点である．つまり，
□□□
□□□
□□□□□□
□□□□□□
の左上から右下に直線を引いて，直線上とその下にある格子点を数えると，上から
$1+2+4+5+7$
となっている．

このパターンで増えていくわけだが，この数列の規則性を考える．

n がひとつ増えると，2段増えるが，そのことで，格子点の数は，2段上よりも3個増える．
ということは，数列の奇数番目と偶数番目はどちらも「公差3の等差数列」である．これで奇数段目と偶数段目で分ける理由がわかる．それは「2段ずつ増えているから」といえる．
これが「5段ずつ増える」なら「$5k+1$，$5k+2$，$5k+3$，$5k+4$，$5k$」段目ごとに分けるとどれも等差数列になるわけである．これが「考え方」

実際，奇数段目は
$1+4+7$
だし，偶数弾目は，
$2+5$
となる．

1,4,7 は初項1，公差 3 で一般項は $3n-2$，
2,5 初項2，公差 3 で一般項は $3n-1$，

そして，$n=2$ のとき奇数段の項数は 3，偶数段の項数は2 だったから，
奇数段 $3n-2$ の項数は $n+1$，偶数段 $3n-1$ の項数は $n$．

ということで，
奇数段の格子点の数は
初項1，末項$3(n+1)-2$，項数 $n+1$ より，
$\frac{(1+3n+3-2)(n+1)}{2}=\frac{3n^2+5n+2}{2}$

偶数段の格子点の数は
初項2，末項3n-1，項数 n より，
$\frac{(2+3n-1)n}{2}=\frac{3n^2+n}{2}$

それらの合計は
$\frac{6n^2+6n+2}{2}=3n^2+3n+1$
これが答え．

したがって，$n=1, \cdots, 10$ のときの格子点の数は
$1+2+4=7,$
$1+2+4+5+7=19,$
$1+2+4+5+7+8+10=37,$
$1+2+4+5+7+8+10+11+13=61,$
$1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16=91,$
$1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19=127,$
$1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20+22=169,$
$1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20+22+23+25=217,$
$1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20+22+23+25+26+28=271,$
$1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20+22+23+25+26+28+29+31=331$