円錐曲線

教科書の流れでは放物線の定義は数学Ⅰで
　「２次関数の表す図形は放物線」
だ．放物線は parabola だが，この単語の「para」は parallel（平行）からきていて「放物（物を放る）」というニュアンスはない．
物を放ってそれが２次関数になることを発見したのはたぶんガリレイ．その千年以上前の古代ギリシャですでに parabola は発見されていた．
日本語に訳されたのはおそらく明治に入ってからだろうが，そのときはもちろん，「２次関数は放物線」だったわけだ．

古代ギリシャでは円錐の平面による切り口の一つとして parabola が理解されていた．

当時すでに，円錐を平面で切ったときの切り口がいろいろ研究されていた．
円錐を水平に切断すれば，円錐というくらいだから，切り口は円になる．この切断面を少し斜めした図形を楕円という．
円錐の中に球を落とすと（アイスのコーンに，球形のアイスを入れる感じ），球の大きさによっていろいろな場所に来るが，切り口の平面にも接するようなうまい大きさの球を考える．
楕円の場合，切り口の上側と下側，２つの球がぴったり収まる．
そして，切り口の平面と，球との接点はそれぞれの球についてひとつづつで合計２個あるから接点も２個ある．
楕円上のどの点も，２つの接点からの距離の和が一定であることが，円錐と球と切り口の平面の関係から，ちょっとした頭の体操でわかる．
これは，
　「球は，円錐と，切り口の平面に接している．」
　「球に１点から２本の接線を引くと，点と接点との距離はどちらも同じ」
　「円錐という図形の対称性」
などをくみあわせればわかる．
逆に，このことから現代では，
　「２定点からの距離の和が一定の曲線を楕円という」
と定義している．

さて，切り口の平面の角度をどんどん大きくすると，楕円はどんどん長くなる．
そして，円錐の側面と平行になった瞬間に，図形が閉じなくなる．
これが，parabola である．（放物という語は使いたくない）
そう，parabola の語源は「平行」です，物を放るということとは全く関係ない．
さて，円錐と切り口に接する球は１つしか存在しないが，楕円のときと同様に考える．
すると，球が円錐に接する部分の円を含む平面と，切り口の平面とが交わる直線（準線という）から parabola 上の点までの距離と，その点から切り口と球との接点（焦点という）までの距離が一定であることが，やはり「ちょっとした頭の体操」でわかる．
このことから現代では
　「定直線（準線）からの距離と，その直線上にない点（焦点）からの距離が等しい点の軌跡を parabola という」
と定義している．

側面に平行からさらに角度をつけると「双曲線」になる．双曲線というくらいだから２個の曲線ができるはずだが，この円錐では１つしかできないと思うだろう．
もう一つはどこ？
同じ円錐をもう一つ用意し，逆さまにして，頂点をくっつける．すると，切り口は急角度で側面に平行でないから，逆さまの円錐にも切り口を作る．
このとき，逆さまに円錐にも，下側の円錐にできた曲線と合同な曲線ができあがる．同じ形の曲線が２つあるから「双曲線」というわけ．
切り口と円錐に接する球は上下の円錐に２個できる．切り口と球との接点をやはり焦点という．
双曲線は接点からの距離の差が一定の曲線です．