本日の計算（ベクトル）

ヤクルトの製品じゃないよ・・・「べくると」
任意の平行四辺形や三角形の内部の点を表す，典型的な問題について．

たとえば，三角形の2辺を2つのベクトルa，b　で表したとき，三角形内部の点の位置を a，bの式で表す問題である．

例題
三角形OABについて，OAを2:3に内分する点C，OBを3:5に内分する点Dとし，ADとBCの交点をPとする．
このとき，ベクトル$\vec{OP}$を2つのベクトル $\vec{OA}=\vec{a},\ \vec{OB}=\vec{b}$ の式で表せ．

みたいの．

教科書どおりなら，

PがADの内分点であることから，AP：PD=s：(1-s) とおくことができ，
$\vec{OP}=s\vec{OA}+(1-s)\vec{OD}=s\vec{a}+(1-s)\left(\frac{3}{8}\vec{b}\right)$
PがBCの内分点であることから，BP：PC=t：(1-t) とおくことができ，
$\vec{OP}=t\vec{OB}+(1-t)\vec{OC}=t\vec{b}+(1-t)\frac{2}{5}\vec{a}$
係数比較で，
$s=(1-t)\frac{2}{5},\ (1-s)\frac{3}{8}=t$
から $s=\frac{5}{17},\ t=\frac{9}{34}$が得られ，
$\vec{OP}=\frac{5}{17}\vec{a}+\frac{9}{34}\vec{b}$
となる．

チェバの定理・メネラウスの定理を使えば，公式にあてはめて秒殺であるが．
OPとABの交点をEとすれば

チェバの定理
$\frac{AE}{EB}\cdot\frac{BD}{DO}\cdot\frac{OC}{CA}=1$
$\frac{AE}{EB}\cdot\frac{5}{3}\cdot\frac{2}{3}=1$
$\frac{AE}{EB}=\frac{9}{10}$
より，
$\vec{OE}=\frac{10\vec{a}+9\vec{b}}{19}$
$\frac{AB}{BE}=\frac{19}{10}$

メネラウスの定理
$\frac{OC}{CA}\cdot\frac{AB}{BE}\cdot\frac{EP}{PO}=1$
$\frac{2}{3}\cdot\frac{19}{10}\cdot\frac{EP}{PO}=1$
$\frac{EP}{PO}=\frac{19}{15}$
$\vec{OP}=\frac{19}{34}\vec{OE}=\frac{10\vec{a}+9\vec{b}}{34}$


もうひとつ，内分点とかベクトルを使わない禁じ手がある．
この問題の特徴は「長さ」に拠らないところ．
つまり任意の三角形で成り立つ事柄である．
ということは，分かりやすい形に座標に押し込んでしまう手がある．

O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)
$\vec{OA},\ \vec{OB}$は「基本ベクトル」となる．

他の点もC(2/5,0)，D(0,3/8)
ここで，2直線AD，BCの交点Pの座標を求める計算は中学レベルである．
直線AD は傾き $\frac{-3}{8}$で点A(1, 0)を通り
$y=\frac{-3}{8}(x-1)$
直線BC は傾き$\frac{-5}{2}$ で点B(0,1)を通り
$y=\frac{-5}{2}x+1$
交点は $\frac{-3}{8}(x-1)=\frac{-5}{2}x+1$
$\mathrm{P}\left(\frac{5}{17}, \frac{9}{34}\right)$
より
$\vec{OP}=\frac{5}{17}\vec{a}+\frac{9}{34}\vec{b}$

勝手に直交座標に当てはめてしまうが，もともとどんな三角形でも成り立つ問題だから，直交座標でも成り立つ．
直交座標は中学レベルだから，その方法で計算してしまおうということである．

直交座標に対して，もとの任意の三角形で作られるような空間．つまり絶対的な原点・座標と標準的な長さや角度などといった計量 (metric) の概念を取り除いた空間をアフィン空間という．
最後の解き方はアフィン空間をユークリッド空間に引き戻して解いているといえるが，ベクトルの期末テストでやったら減点だろう．入試でやってもたぶん大丈夫かな．