数列

数Bで数列に入った．
今日は等差数列．

教科書の問題に
$\frac{1}{12},\ \frac{1}{x},\ \frac{1}{6}$が等差数列のとき，$x$を求めよ．
という問題があった．
3項a,b,cが等差数列ならa+c＝2b という関係を使う練習問題．
3階建ての分数になったりするが，やさしい問題である．

思わず
「おぉ！こんなところに調和数列が！」
と口走る．
この問題の答えは 8 だが，このとき 12,8,6 を「調和数列」というので，ここからいろいろと与太話が膨らんでしまって1時間つぶしてしまった．

等差数列の逆数の数列を調和数列という．

6kmと12kmの平均は9km．これは「相加平均」とか「算術平均」といって，普通に平均といえばこれである．

ある地点までの往復の速さ，往路が6km/h，復路が12km/h のとき，往復の平均の速さは？
道のりが 24km ならかかる時間は往路 24/6＝4時間，復路24/12＝2時間の合計6時間かかる．往復48kmを6時間かけると平均の速さは 48÷6＝8km/hとなる．
これが，6と12の調和平均8．
速さの平均が調和平均であることがわかっていれば，道のり24kmを全く使うことなく，
$\frac{2}{\frac{1}{6}+\frac{1}{12}}=8$
である．

このとき
$\frac{1}{12},\ \frac{1}{8},\ \frac{1}{6}$　つまり　$\frac{2}{24},\ \frac{3}{24},\ \frac{4}{24}$
が等差数列になるから等差数列の逆数列が調和数列になる．

a, bの相乗平均　√ab に対して，
相加平均≧相乗平均
は有名である．
6，12の相乗平均は√(6×12)＝6√2＝8.48528137
9≧8.48528137≧8
であるが，一般に
相加平均≧相乗平均≧調和平均
となる．つまり a>0，b>0に対して，
$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
これは文字の個数が増えても
$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}\ge\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$
$\frac{a+b+c+d}{4}\ge \sqrt[4]{abcd}\ge\frac{4}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}$
$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\ge\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}$
と一般化できる．
相加平均は別名算術(arithmetic)平均，相乗平均は別名幾何(geometric)平均

調和（harmonic）の由来はドミソの振動数比が4:5:6の等差数列で，弦の長さの比はその逆数になる．
つまり弦の長さの比を調和数列にすると，振動数比が等差数列となって美しい・・・


なんて話しているうちに，チャイム．


サイトを検索したら，これらの大小を比べるフラッシュがあった．
そのなかにquadratic mean なる平均が．
二乗平均平方根 $\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}}$
のことである．