四平方の定理

三平方の定理は有名
直角をはさむ2辺の長さ $a$，$b$，斜辺の長さ $c$の直角三角形において，
$a^2+b^2=c^2$

これの立体版といえるのが次の四平方の定理．
直方体を図のように切り，

三角形ABCの面積$S_0$，三角形OABの面積$S_1$，三角形OBCの面積$S_2$，三角形OCAの面積$S_3$としたとき，
$S_1^2+S_2^2+S_3^2=S_0^2$
を満たすというもの．

（証明）
$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$，$\mathrm{OC}=c$ とすると，
$S_1=\frac{ab}{2}$，　$S_1=\frac{bc}{2}$，　$S_1=\frac{ca}{2}$
より，
$S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{4}$

一方，
$\mathrm{AB}=\sqrt{a^2+b^2}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{b^2+c^2}$，$\mathrm{CA}=\sqrt{c^2+a^2}$
より，ヘロンの公式から，
$s=\frac{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}}{2}$
とすると，
$S_0=\sqrt{s(s-\sqrt{a^2+b^2})(s-\sqrt{b^2+c^2})(s-\sqrt{c^2+a^2})}$
それぞれ展開．
$s(s-\sqrt{a^2+b^2}) \\ =\frac{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}}{2} \\ \hspace{7mm} \times\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}}{2}-\sqrt{a^2+b^2}\right) \\ =\frac{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}}{2}\cdot\frac{-\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}}{2} \\ =\frac{c^2+\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}}{2}$
同様に，
$(s-\sqrt{b^2+c^2})(s-\sqrt{c^2+a^2}) \\ =\frac{\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2}}{2} \\ =\frac{-c^2+\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}}{2}$
ゆえに
$S_0^2=\frac{c^2+\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}}{2}\cdot\frac{-c^2+\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}}{2} \\ =\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{4}$
より成り立つ．

とまぁ，計算で証明するなら，多少めんどうな計算問題であるが，これを幾何学的に証明するにはどうするのだろうか．
三平方の定理なら，辺の長さの平方を正方形の面積で表現して，「面積が等しい」という形に持ち込むが，面積の平方量の幾何学表現をどうするかということになる．
面積をなんとか線分の長さに持ち込めば，あとは「正方形の面積が等しい」ということになるのだろう．

ベクトル（外積）を使えば，もうすこし計算は楽になるだろうな．

次元が上がれば，同じように成り立つ．つまり4次元の五胞体では五平方の定理，5次元の六平方の定理・・・・