n次元単体の中心角

五胞体の中心角の cos を計算したとき，

1次元単体は線分で，重心（中点）から2つの頂点に延ばした直線のなす角は180度だから
cos180度=-1
2次元単体は正三角形で，重心から3つの頂点に延ばした直線のなす角は120度だから
cos120度=-1/2
3次元単体は正四面体で，重心から4つの頂点に延ばした直線のなす角θに対し
cosθ=-1/3
4次元単体は正五胞体で，重心から5つの頂点に延ばした直線のなす角θに対し
cosθ=-1/4
から，
n次元単体の重心から n+1個の頂点に延ばした直線のなす角θに対し
cosθ=-1/n
と類推したが，正しくは証明が必要．

（証明）
辺の長さを1の n次元単体の n+1個の頂点の位置vector を
$\mathrm{O}(\vec{0}),\ \mathrm{A_1}(\vec{a_1}),\ \mathrm{A_2}(\vec{a_2}),\ \cdots\ \mathrm{A_n}(\vec{a_n}),\ $
とすると，重心 $\mathrm{G}(\vec{g})$ は n+1 個の頂点の真ん中だから，
$\vec{g}=\frac{1}{n+1}(\vec{a_1}+\vec{a_2}+\ \cdots\ +\vec{a_n})$
このとき，$\mathrm{GO},\ \mathrm{GA_1}$ のなす角を $\theta$ とすると，
$\cos\theta=\frac{\vec{\mathrm{GO}}\cdot\vec{\mathrm{GA_1}}}{|\vec{\mathrm{GO}}||\vec{\mathrm{GA_1}}|}$


まず，分母の計算．
Gから各頂点への長さはすべてGOと同じだから，
$|\vec{\mathrm{GO}}||\vec{\mathrm{GA_1}}|=|\vec{\mathrm{GO}}||\vec{\mathrm{GO}}|=|\vec{\mathrm{GO}}|^2=|\vec{\mathrm{OG}}|^2=|\vec{g}|^2=\vec{g}\cdot\vec{g}$
$=\left(\frac{1}{n+1}(\vec{a_1}+\vec{a_2}+\ \cdots\ +\vec{a_n})\right)\cdot\left(\frac{1}{n+1}(\vec{a_1}+\vec{a_2}+\ \cdots\ +\vec{a_n})\right)$
$=\frac{1}{(n+1)^2}(\vec{a_1}+\vec{a_2}+\ \cdots\ +\vec{a_n})\cdot(\vec{a_1}+\vec{a_2}+\ \cdots\ +\vec{a_n})$
$=\frac{1}{(n+1)^2}(\vec{a_1}\cdot\vec{a_1}+\vec{a_2}\cdot\vec{a_2}+\ \cdots\ +\vec{a_n}\cdot\vec{a_n}$
$+2\vec{a_1}\cdot\vec{a_2}+2\vec{a_1}\cdot\vec{a_3}+\ \cdots\ +2\vec{a_{n-1}}\cdot\vec{a_n})$
ここで，三角形$\mathrm{OA_1A_2}$は辺の長さ1の正三角形で，2辺$\mathrm{OA_1},\ \mathrm{OA_2}$のなす角は60度だから，
$\vec{a_1}\cdot\vec{a_1}=\vec{\mathrm{OA_1}}\cdot\vec{\mathrm{OA_1}}=|\vec{\mathrm{OA_1}}|^2=1$
$\vec{a_1}\cdot\vec{a_2}=\vec{\mathrm{OA_1}}\cdot\vec{\mathrm{OA_2}}=|\vec{\mathrm{OA_1}}||\vec{\mathrm{OA_2}}|\cos60^{\circ}=1\times1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
他の番号についても同様で，
$\vec{a_i}\cdot\vec{a_i}=1$
$i\ne j$ならば　$\vec{a_i}\cdot\vec{a_j}=\frac{1}{2}$
なので，
$|\vec{g}|^2=\frac{1}{(n+1)^2}(1+1+\ \cdots\ +1+2\times\frac{1}{2}+2\times\frac{1}{2}+\ \cdots\ +2\times\frac{1}{2})$
そして，
$\vec{a_i}\cdot\vec{a_i}=1$ は n個，
$i\ne j$のとき　$\vec{a_i}\cdot\vec{a_j}=\frac{1}{2}$は ${\ }_{n}\mathrm{C}{\ }_{2}=\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n^2-n}{2}$個あるから，
$|\vec{g}|^2=\frac{1}{(n+1)^2}(n+\frac{n^2-n}{2})=\frac{1}{(n+1)^2}(\frac{n^2+n}{2})=\frac{1}{(n+1)^2}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n}{2(n+1)}$

つづいて，分子の計算．
$\vec{\mathrm{GO}}=-\vec{\mathrm{GO}}=-\vec{g}$
$\vec{\mathrm{GA_1}}=\vec{\mathrm{OA_1}}-\vec{\mathrm{OG}}=\vec{a_1}-\vec{g}$
から，
$\vec{\mathrm{GO}}\cdot\vec{\mathrm{GA_1}}=(-\vec{g})\cdot(\vec{a_1}-\vec{g})=-\vec{g}\cdot\vec{a_1}+\vec{g}\cdot\vec{g}=-\vec{g}\cdot\vec{a_1}+|\vec{g}|^2$

$\vec{g}\cdot\vec{a_1}=\frac{1}{n+1}(\vec{a_1}+\vec{a_2}+\ \cdots\ +\vec{a_n})\cdot\vec{a_1}$
$=\frac{1}{n+1}(\vec{a_1}\cdot\vec{a_1}+\vec{a_2}\cdot\vec{a_1}+\ \cdots\ +\vec{a_n}\cdot\vec{a_1})$
$\vec{a_1}\cdot\vec{a_1}$だけが 1 で，それ以外の項は $\frac{1}{2}$ である．
そして，$\frac{1}{2}$は n-1 項あるので，
$\vec{g}\cdot\vec{a_1}=\frac{1}{n+1}(1+\frac{n-1}{2})=\frac{1}{n+1}(\frac{n+1}{2})=\frac{1}{2}$

よって，
$\vec{\mathrm{GO}}\cdot\vec{\mathrm{GA_1}}=-\vec{g}\cdot\vec{a_1}+|\vec{g}|^2$
$=-\frac{1}{2}+\frac{n}{2(n+1)}=-\frac{n+1}{2(n+1)}+\frac{n}{2(n+1)}=\frac{-n-1+n}{2(n+1)}$
$=\frac{-1}{2(n+1)}$

したがって，
$\cos\theta=\frac{\vec{\mathrm{GO}}\cdot\vec{\mathrm{GA_1}}}{|\vec{\mathrm{GO}}||\vec{\mathrm{GA_1}}|}=\frac{ \frac{-1}{2(n+1)} }{ \frac{n}{2(n+1)} }$
$=-\frac{1}{n}$
となる．



n次元の図を書くことなど思いもよらないが，３次元と同じ理屈だから，機械的な計算だけで求まってしまう．まさに「代数」の威力だね．