メビウスの反転公式

1の累乗根をあらわす方程式$x^n-1=0$の左辺の因数分解で，n=105で係数に1でないものが出てくることが数式処理ソフトで計算するとわかる．＞x^n-1の因数分解
といった話題を同僚のN氏に話したら．
「手計算でできたよ．メビウスの反転公式を使って．」＞１の n 乗根

なるほど．
こういうことだ．

μ(n)をメビウス関数とする．
メビウス関数とは，
１．μ(1)＝1
２．nに平方因子（つまり２乗）が含まれると 0
たとえばμ(4)=0，μ(45)=μ(9×5)=0
３．nが偶数個の素数の積なら 1
たとえばμ(15)=1
４．nが奇数個の素数の積なら -1
たとえばμ(5)=-1，μ(30)=μ(2×3×5)=-1

このとき次の式が成り立つ．＞１の n 乗根

$F_{n}(x)=\prod_{d|n}(x^{\frac{n}{d}}-1)^{\mu(d)}$
は1の原始n乗根のみを根とする，多項式である．（証明は整数論の本で）


Πは積である．
d|n は nを割り切る d ということで，n=6なら， 1|6，2|6，3|6，6|6 だが，4|6は成り立たない．
Πの下にある d|n はnを割り切るdだけの積という意味になり，n=6なら d=1,2,3,6という数字を動いて，積を作る．
μ(d)はd=1,2,3,6ならμ(1)=1，μ(2)=-1，μ(3)=-1，μ(6)=1 となる
で，積の一つ一つは $(x^{\frac{6}{d}}-1)^{\mu(d)}$の形．
μ(d)は1か-1しかない．1のときは分子に，-1のときは分母に来るという意味である．
d=1のときμ(d)=1で，6/1=6 より$(x^6-1)^1$となり$(x^6-1)$は分子の成分である．
d=2のときμ(d)=-1で，6/2=3 より$(x^3-1)^{-1}$となり$(x^3-1)$は分母の成分である．
d=3のときμ(d)=-1で，6/3=2 より$(x^2-1)^{-1}$となり$(x^2-1)$は分母の成分である．
d=6のときμ(d)=1で，6/6=1 より$(x^1-1)^1$となり$(x-1)$は分子の成分である．
したがって，
$F_{6}(x)=\prod_{d|6}(x^{\frac{6}{d}}-1)^{\mu(d)}$
$=(x^6-1)\times\frac{1}{(x^3-1)}\times\frac{1}{(x^2-1)}\times(x-1)$
となり，これを計算すると
$=x^2-x+1$
が，1の原始6乗根を根とする多項式であることがわかる．

$F_{1}(x)=x-1$
$F_{2}(x)=\frac{(x^2-1)}{(x-1)}=x+1$
$F_{3}(x)=\frac{(x^3-1)}{(x-1)}=x^2+x+1$
$F_{4}(x)=\frac{(x^4-1)(x-1)^0}{(x^2-1)}=x^2+1$
$F_{5}(x)=\frac{(x^5-1)}{(x-1)}=x^4+x^3+x^2+x+1$
$F_{6}(x)=\frac{(x^6-1)(x-1)}{(x^3-1)(x^2-1)}=x^2-x+1$
$F_{7}(x)=\frac{(x^7-1)}{(x-1)}=x^6+x^5+\cdots+x^2+x+1$
$F_{8}(x)=\frac{(x^8-1)(x^2-1)^0(x-1)^0}{(x^4-1)}=x^4+1$
$F_{9}(x)=\frac{(x^9-1)(x-1)^0}{(x^3-1)}=x^6+x^3+1$
$F_{10}(x)=\frac{(x^{10}-1)(x-1)}{(x^5-1)(x^2-1)}=x^4-x^3+x^2-x+1$
と1の原始n乗根（n乗してはじめて1になる数）を根とする多項式が並ぶ．

さて，$x^{105}-1$についてこの式を当てはめる．
n=105=3×5×7である．
nを割り切るのは，1，3，5，7，3×5，3×7，5×7，3×5×7．
μ(1)=1，μ(3)=-1，μ(5)=-1，
μ(3×5)=1，μ(3×7)=1，μ(5×7)=1，
μ(3×5×7)=-1
ということは分子にくる指数は，3，5，7，105で，それ以外の指数1，15，21，35は分母になる．つまり
$\frac{(x^{105}-1)(x^{7}-1)(x^{5}-1)(x^{3}-1)}{(x^{35}-1)(x^{21}-1)(x^{15}-1)(x^{1}-1)}$．

この割り算では，全部の項を用いるのではなく「先頭の８次だけを計算する」のが手計算における味噌．
$\frac{(x^{3}-1)(x^{5}-1)(x^{7}-1)(x^{105}-1)}{(x^{1}-1)(x^{15}-1)(x^{21}-1)(x^{35}-1)}$
を展開するのも後ろのほうのまで行わないで
$=\frac{x^{120}-x^{117}-x^{115}-x^{113}+x^{112}+x^{110}+\cdots}{x^{72}-x^{71}-x^{57}\cdots}$
とする．そしてこの割り算も，必要なところだけを割り算する．
これで結果の48次式の41次の項に係数2が出てくることが「手計算で」確認できる．
$x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-2x^{41}\cdots$
つまり原始105乗根を根に持つ多項式は48次式で，41次の係数が2である．

手計算でやってみようと思うところがすごい．N氏おそるべし．