因数分解

$n$が3以上の自然数のとき，
$x^n-(2^n-1)x+2^n-2$
の因数分解．

$n$が確定していればちょろいが，こんなのいったいどうするの？という感じ．
因数定理を試すと，$x=1,\ 2$が当てはまることが分かる．


$x=1$のとき
$x^n-(2^n-1)x+2^n-2=1-(2^n-1)+2^n-2=0$

$x=2$のとき
$x^n-(2^n-1)x+2^n-2=2^n-(2^n-1)\cdot 2+2^n-2$
$=2^n-2\cdot 2^n+2+2^n-2=0$

割り算は組み立て除法で簡単．
$x^n-(2^n-1)x+2^n-2$
$=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+\cdots+x-2^n+2)$
$=(x-1)(x-2)(x^{n-2}+3x^{n-3}+7x^{n-4}+\cdots+(2^{n-2}-1)x+2^{n-1}-1)$

たとえば，
$x^3-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)$
$x^4-15x+14=(x-1)(x-2)(x^2+3x+7)$
$x^5-31x+30=(x-1)(x-2)(x^3+3x^2+7x+15)$
$x^6-63x+62=(x-1)(x-2)(x^4+3x^3+7x^2+15x+31)$