3次方程式の解の公式（一般解）

3次方程式の解の公式（一般解）を求める．（カルダノの解法）

$ax^3+bx^2+cx+d=0$
の両辺を $a$で割って，
$x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$
ここで，
$x=y-\frac{b}{3a}$
とおくと，2次の係数を0にできる．
$\left(y-\frac{b}{3a}\right)^3+\frac{b}{a}\left(y-\frac{b}{3a}\right)^2+\frac{c}{a}\left(y-\frac{b}{3a}\right)+\frac{d}{a}=0$
$y^3+\left(-\frac{b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}\right)y+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}=0$
ここで，1次の係数を $p$，定数項を$q$ とおいて，スペースを節約する．
$y^3+py+q=0$
ただし，$p=-\frac{b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}$，$q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}$，


ここで，
$y=u+v$
とおくと，
$(u+v)^3+p(u+v)+q=0$
$u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=0$
$u^3+3uv(u+v)+v^3+p(u+v)+q=0$
$u^3+v^3+q+(u+v)(3uv+p)=0$
この等式を満たすには，
$u^3+v^3+q=0$ かつ $(u+v)(3uv+p)=0$

$y=u+v\ne0$より
$u^3+v^3+q=0$ かつ $3uv+p=0$
である．
$3uv+p=0$より，
$v=\frac{-p}{3u}$
これを$u^3+v^3+q=0$に代入して，
$u^3+\left(\frac{-p}{3u}\right)^3+q=0$
$u^3-\frac{p^3}{27u^3}+q=0$
両辺を $u^3$ 倍して，
$(u^3)^2-\frac{p^3}{27}+qu^3=0$
これは $u^3$ の2次方程式
$(u^3)^2+qu^3-\frac{p^3}{27}=0$
なので，解の公式で解くと，
$u^3=\frac{-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}$
$=\frac{-q\pm\sqrt{\frac{81q^2}{81}+\frac{12p^3}{81}}}{2}$
$=\frac{-q\pm\frac{\sqrt{81q^2+12p^3}}{9}}{2}$
$=\frac{-9q\pm\sqrt{81q^2+12p^3}}{18}$

また，
$u^3+v^3+q=0$
より
$v^3=-u^3-q$
$=-\frac{-9q\pm\sqrt{81q^2+12p^3}}{18}-q$
$=\frac{9q\mp\sqrt{81q^2+12p^3}}{18}-\frac{18q}{18}$
$=\frac{-9q\mp\sqrt{81q^2+12p^3}}{18}$
だから，2次方程式の「±」の一方が $u$ で他方が $v$ である．

ここで，「＋」の方を $u$，「－」の方を $v$として，話を進める．
まず，この3次方程式を解く．
$u^3=\left(\left(\frac{-9q+\sqrt{81q^2+12p^3}}{18}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^3$
より，
$u^3-\left(\left(\frac{-9q+\sqrt{81q^2+12p^3}}{18}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^3=0$

一般に， $x^3-a^3=0$ の解は，
$(x-a)(x^2+ax+a^2)=0$
より
$x-a=0,\ \ x^2+ax+a^2=0$
$x=a,\ \ \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}a,\ \ \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}a$
となる．
$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$
は1の虚数3乗根で$\omega$と表す．このとき，
$\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=\omega^2$
となる．したがって，
$u^3-\left(\left(\frac{-9q+\sqrt{81q^2+12p^3}}{18}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^3=0$
の解は
$\alpha=\left(\frac{-9q+\sqrt{81q^2+12p^3}}{18}\right)^{\frac{1}{3}}$
とおくと，
$u^3-\alpha^3=0$
$(u-\alpha)(u^2+\alpha u+\alpha^2)=0$
より，
$u=\alpha$，$u=\alpha\omega$，$u=\alpha\omega^2$
の3つが求まる．
ここから変数のおきかえをたどりなおして，もとの方程式の解を復元する．

$u=\alpha$のときは，±をとりかえたのが $v$ だから，
$v=\beta=\left(\frac{-9q-\sqrt{81q^2+12p^3}}{18}\right)^{\frac{1}{3}}$
である．
このとき，解$u=\alpha\omega$に対応する $v$ は
$v=\frac{-p}{3u}$
より
$v=\frac{-p}{3\alpha\omega}$
$v=\beta\cdot\frac{1}{\omega}$
$v=\beta\cdot\frac{\omega^2}{\omega^3}$
$v=\beta\cdot\frac{\omega^2}{1}$
$v=\beta\omega^2$
解$u=\alpha\omega^2$に対応する $v$ は同様に
$v=\frac{-p}{3\alpha\omega^2}$
$v=\beta\cdot\frac{1}{\omega^2}$
$v=\beta\cdot\frac{\omega}{\omega^3}$
$v=\beta\cdot\frac{\omega}{1}$
$v=\beta\omega$

$u+v=y$だったから，3つの $y$ は
$\alpha+\beta$，
$\alpha\omega+\beta\omega^2$，
$\alpha\omega^2+\beta\omega$
さらに，
$x=y-\frac{b}{3a}$
だったから，3つの $x$ は
$\alpha+\beta-\frac{b}{3a}$，
$\alpha\omega+\beta\omega^2-\frac{b}{3a}$，
$\alpha\omega^2+\beta\omega-\frac{b}{3a}$
と表される．

・・・と普通は，これで終了．「あとは自分でたどってもとの a, b, c, d に直してね．」となるのだろう．
でもせっかくだから，ここで元の定数に戻してみる．


求めた$\alpha$，$\beta$ を代入して，
$\left(\frac{-9q+\sqrt{81q^2+12p^3}}{18}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{-9q-\sqrt{81q^2+12p^3}}{18}\right)^{\frac{1}{3}}-\frac{b}{3a}$，
$\left(\frac{-9q+\sqrt{81q^2+12p^3}}{18}\right)^{\frac{1}{3}}\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}+\left(\frac{-9q-\sqrt{81q^2+12p^3}}{18}\right)^{\frac{1}{3}}\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}-\frac{b}{3a}$，
$\left(\frac{-9q+\sqrt{81q^2+12p^3}}{18}\right)^{\frac{1}{3}}\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}+\left(\frac{-9q-\sqrt{81q^2+12p^3}}{18}\right)^{\frac{1}{3}}\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}-\frac{b}{3a}$，

$p=-\frac{b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}=\frac{-b^2+3ac}{3a^2}$，
$q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$
だったので，
$\frac{-9q}{18}=\frac{-9\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}}{18}=\frac{-2b^3+9abc-27a^2d}{54a^3}$
$\frac{\sqrt{81q^2+12p^3}}{18}=\frac{\sqrt{81\left(\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}\right)^2+12(\frac{-b^2+3ac}{3a^2})^3}}{18}$
$=\frac{\sqrt{3(-b^2c^2+4b^3d-18abcd+4ac^3+27a^2d^2)}}{18a^2}$

$x$ を復元すると，
$-\frac{b}{3a}+\left(\frac{-2b^3+9abc-27a^2d}{54a^3}+\frac{\sqrt{3(-b^2c^2+4b^3d-18abcd+4ac^3+27a^2d^2)}}{18a^2}\right)^{\frac{1}{3}}$
$+\left(\frac{-2b^3+9abc-27a^2d}{54a^3}-\frac{\sqrt{3(-b^2c^2+4b^3d-18abcd+4ac^3+27a^2d^2)}}{18a^2}\right)^{\frac{1}{3}}$，
$-\frac{b}{3a}+\left(\frac{-2b^3+9abc-27a^2d}{54a^3}+\frac{\sqrt{3(-b^2c^2+4b^3d-18abcd+4ac^3+27a^2d^2)}}{18a^2}\right)^{\frac{1}{3}}\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$
$+\left(\frac{-2b^3+9abc-27a^2d}{54a^3}-\frac{\sqrt{3(-b^2c^2+4b^3d-18abcd+4ac^3+27a^2d^2)}}{18a^2}\right)^{\frac{1}{3}}\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$，
$-\frac{b}{3a}+\left(\frac{-2b^3+9abc-27a^2d}{54a^3}+\frac{\sqrt{3(-b^2c^2+4b^3d-18abcd+4ac^3+27a^2d^2)}}{18a^2}\right)^{\frac{1}{3}}\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$
$+\left(\frac{-2b^3+9abc-27a^2d}{54a^3}-\frac{\sqrt{3(-b^2c^2+4b^3d-18abcd+4ac^3+27a^2d^2)}}{18a^2}\right)^{\frac{1}{3}}\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$
の3つが，3次方程式の解の公式を係数だけで表したものとなる．

普通はスペースが無駄なので，係数を復元しない．
数学人間にとっては，$\alpha$，$\beta$で表された段階で，「あとはもどすだけ」と書けば，自分で計算できるし，計算しなくても想像がつく．
でも，数学がシロートの人は，計算できないし想像もつかないだろうから最後まで全部見せてあげることに意味がある．

「公式」と聞くと「万能」のイメージがあるが，結論は見ての通り，万能かもしれないが使いようのない，それ自体は「不毛な」公式である．

さらに，この公式は「簡単な答えすら複雑に表現されてしまう」という問題点がある．

実際は級数による数値解が高速で利用価値が高い．

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linked: 1 2

2013年追記＞「-1 の7乗根」を別の方法（ラグランジュリゾルベント）で求めてみた．