位相空間の分離公理

ちょっと復習（枠内は読み飛ばしてください）

位相空間の公理は，開集合によるもの，閉集合によるもの，開核によるもの，閉包によるもの，近傍によるものがあって，どれかひとつを採用すれば，他は定理として証明できる． 使いやすいのは近傍によるものだが，開集合の公理は短くてここにも書きやすい． 位相空間とは，集合$X$と，その部分集合の集合（べき集合）$\mathcal{T}=\{O|O\subset X\}$との組み$(X, \mathcal{T})$で，以下の性質を満たすものをいう． 1.$\emptyset\in\mathcal{T}$，$X\in\mathcal{T}$ 2.$O_1,O_2\in\mathcal{T}$ならば $O_1\cap O_2\in\mathcal{T}$ 3.任意の$\lambda\in\Lambda$について$O_\lambda\in\mathcal{T}$ならば $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathcal{T}$ このとき$\mathcal{T}$の要素（$O_1$とか）を開集合という． まぁこれは数直線上の区間 3＜x＜5 みたいな例で考えれば十分である． 2.は開集合の有限個の共通部分は開集合ということ．開集合の無限個の共通部分は閉集合になることもあるからである． たとえば，n→∞のとき，開区間{x| -1/n＜x＜1+1/n}の共通部分は閉区間{x| 0≦x≦1}． 3.は開集合の和集合は無限にあつめても開集合ということ．さらに$\Lambda$は任意の無限集合なので，無限の種類（可算かどうか）は問わない．無限だからといって， $O_1\cup O_2 \cup O_3 \cdots$ と書いたら可算個ということになってしまう． さて，分離公理とは，集合の中の点（要素）を分ける公理である． 以降，$X$の異なる2つの要素$x$，$y$ を含む開集合を$A$，$B$とする．つまり$x\not{=} y$で，$x\in A \in\mathcal{T}$という感じ． $T_0$ (コルモゴロフ (Kolmogorov) の分離公理) $x\not\in B$ または 　$y\not\in A$ $T_1$ (フレシェ (Fréchet) の分離公理) $x\not\in B$ かつ 　$y\not\in A$ $T_2$ (ハウスドルフ (Hausdorff) の分離公理) $x\not\in B$ かつ 　$y\not\in A$ そして，$A\cap B=\emptyset$

ここで，いろんな集合の例を考えるのが，大学の数学科の授業．
常識的な集合はたいてい$T_2$になってしまうものである．
次にやさしいのが$T_0$
ところが$T_1$であって，$T_2$でないものが一番見つけづらい．

卒業生のブログに
「$T_1$であって，$T_2$でない例を作れ」
ｈｔｔｐ：／／yastak.seesaa.net/article/13576483.html#comment
なんて，半分ギャグで書いたら，さっそく解答例が書き込まれた．
ｈｔｔｐ：／／yastak.seesaa.net/article/13788651.html#comment

さすが理I類