型の理論と対角線論法

「クレタ人は嘘つきだ」
とクレタ人のエピメニデスが言った．
この発言は正しいか？

型の理論(Theory of type)
たとえば，「私は嘘をついている」
は
「すべての命題pについて私が真である，というのは真ではない」
と同値であるとして，
p が1階の命題とすると，この
「すべての命題pについて私が真である，というのは真ではない」
は1回の命題について述べている2階の命題といえる．
したがって，これは実は，
「私が1階の命題が真である．というのは真ではない」
とう2階の命題になるので，パラドックスではないという主張．
という具合にに，細かく論理の階数をきめて，パラドックスを避けようとしたのだけれど，2階より上でも数学的帰納法（1階の論理）を許すとかがこじつけみたいに見えたり，型のチェックが煩雑だったり，結局主流にはならなかったのだな．
でも，後のゲーデルの仕事（選択公理の無矛盾性とか連続体仮説の無矛盾性）はこの型の理論の考え方だったな．たしか．
そこでは命題に対する対角線論法を用いる．

対角線論法とは，すべての小数（実数）に自然数のナンバーがつけられると仮定すると，第n桁目にナンバーnと異なる数字を使った新たな実数が用意できるから，「実数にはナンバーがつけられない」
ゆえに，「実数は自然数より多い」と論証する方法．＞ブログ記事

つまり
「すべての命題pについて私は偽を言う」
において，すべての命題にナンバーをつけるという方法をとると，不完全性定理「トートロジー（真の命題）の証明が存在しない」が証明できてしまうのだ．