－１×－１=１ を証明

これより一般的な
　「a<0，b<0ならばab>0」（マイナス×マイナス＝プラス）
だったら，高校の教科書の練習問題に出てくる程度の（不等式の性質だけで簡単に示せる）易しい問題である．(a<0 の両辺をb倍すると b<0 より不等号の向きが変わる)

それよりも特殊だが，こういった基本的なことの証明には公理を要請して，そこから証明するしかない．
杉浦光夫著「解析入門I」の問1(v)がまさに「(-1)(-1)=1を示せ」に当たるので，その流れにしたがって，証明してみる．

実数の公理（の一部，「体field(英), Korper(独)」の公理である．この公理は有理数の公理の一部でもある．）
(R1) a+b=b+a （和の交換律）
(R2) (a+b)+c=a+(b+c) （和の結合律）
(R3) たしても変わらない実数が存在する．
　　それを「0」と書く．つまり，実数 0 が存在して，すべての実数 a に対して，a+0=0+a=a （和の単位元）
(R4) 実数 a に対して，たして0 になる数が存在する．
　　それを(-a)と書く．つまりすべての実数aに対して，実数 -a が存在して，a+(-a)=(-a)+a=0 （和の逆元の存在）
(R5) ab=ba （積の交換律）
(R6) (ab)c=a(bc) （積の結合律）
(R7) a(b+c)=ab+ac，(a+b)c=ac+bc. （分配律）
(R8) かけても変わらない実数が存在する．
　　それを「1」と書く．つまり，実数 1 が存在して，すべての実数 a に対して，a1=1a=a （積の単位元）
(R9) 0でない実数 a に対して，かけて1 になる数が存在する．
　　それを(1/a)と書く．つまりすべての実数aに対して，実数 (1/a) が存在して，a(1/a)=(1/a)a=1 （積の逆元の存在）
(R10) 0≠1


問1　一般に体Kにおいて，次の(i)～(vi)が成り立つことを示せ．

(i) (R3)をみたす 0 は唯一つ．
証明（根拠は (R1),(R3)）
和の単位元が 0 と 0' の2つあるとする．
0は単位元なので実数0'に対して，0'+0=0'　…(1)
0'は単位元なので実数0に対して，0+0'=0　…(2)
交換律で 0'+0=0'+0
(1),(2) より
0'=0

(ii) (R4)をみたす (-a) は各aに対し唯一つ．
証明（根拠は (R1),(R2),(R4)）
aに対して，和の逆元が (-a) と b の2つあるとする．
(R4)より a+(-a)=0であるし，a+b=0 でもある．
単位元 0 を (-a) にたす．
　(-a)=(-a)+0
a+b=0 でもあるので，0を置き換える．
　=(-a)+(a+b)
結合律(R2)でカッコを付け替える．
　=((-a)+a)+b
交換律(R1)で和の順序を変える．
　=(a+(-a))+b
はじめのカッコ内は(R4)より0に置き換わる．
　=0+b
交換律(R1)で和の順序を変える．
　=b+0
0は単位元なので，
　=b
つまり(-a)=b となってしまって唯一つ．

(iii) (-(-a))=a．
証明（根拠は (R1),(R4),(ii)）
(-a) の逆元は(R4) より
　(-a)+(-(-a))=0
となり (-(-a)) である．
一方 (R4) a+(-a)=0 に交換律(R1)を適用すれば，
　(-a)+a=0
と書ける．つまり a は(-a)にたしたら0になるという点で (-a)の逆元といえる．
この段階で，(-a) の逆元には (-(-a)) と a の2つあることになるが，(ii)より逆元は唯一つなので，(-(-a))=a といえる．

(iv) 0a=0．
証明（根拠は (R3),(R7),(i)）
0は単位元なので(R3)から，0+0=0 をみたすので，これを左辺の 0 と置き換える．
　0a=(0+0)a
分配律(R7)により
　0a=0a+0a
(R3)により 0a はたしても変わらない数，つまり 0a は和の単位元といえる．
しかし(i) によりそれは唯一つなので，
　0a=0
である．

これにより，0の逆数が存在しないことが分かる．
逆数とは積に関する逆元のことで，積が1になる数．つまり0との積が1になる数が存在しないことが分かる．

(v) (-1)a=(-a)．
証明（根拠は (R4),(R6),(R7),(R8),(ii),(iv)）
a+(-1)a
を考える．積の単位元(R8)より a=a1
積の交換律(R6)より a=1a で置き換える．
　a+(-1)a=1a+(-1)a
分配律(R7)より
　=(1+(-1))a
和の逆元(R4)より 1+(-1)=0 で置き換えて，
　=0a
(iv)より
　=0
つまり
　a+(-1)a=0
であるから(-1)a は a の逆元である．
a の逆元はこの段階で (-1)a と (-a)の2つあることになるが，(ii)よりそれは唯一つなので，
　(-1)a=(-a)
である．

(vi) (-1)(-1)=1．
証明（根拠は (iii),(v)）
(v) において，a を(-1)に置き換える．
　(-1)(-1)=(-(-1))
(iii) によって
　=1
ゆえに (-1)(-1)=1．


証明の依存関係は次のとおり．
(R1,3)→(i)
(R1,2,4)→(ii)
　　　　　(ii),(R1,4)→(iii)
(R3,7,i)→(iv)
　　　　　(R4,6,7,8),(ii),(iv)→(v)
　　　　　　　　　　　(iii),(v)→(vi)

この依存関係から (-1)×(-1)=1 は公理(R1,2,3,4,6,7,8)で示すことができる．