1,1,2,3,5,8,13,21,34,・・・
ネットで検索すれば，自然界のフィボナッチ数列が山のように出てくる．
この極限はもちろん正の無限大に発散するが，隣り合う項の比
$\frac{1}{1}=1$
$\frac{2}{1}=2$
$\frac{3}{2}=1.5$
$\frac{5}{3}=1.666$
$\frac{8}{5}=1.6$
$\frac{13}{8}=1.625$
$\frac{21}{13}=1.619$
は，大きくなったり小さくなったりしながら，黄金比
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.61803399$
に限りなく近づく．
Fibonacci 数列$a_n$の定義は，
$a_1=1$，$a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1} + a_n$
である．
Fibonacci 数列$a_n$の定義は，
$a_1=1$，$a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1} + a_n$
である．
$1+1=2$
$1+2=3$
$2+3=5$
$3+5=8$
このとき，
$x=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}$
$x=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}$
の極限を求める．
$a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$
を代入すると，
$x=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}}$
を代入すると，
$x=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}}$
$=\lim\frac{a_{n}+a_{n-1}}{a_n}}$
$=\lim(\frac{a_{n}}{a_n}+\frac{a_{n-1}}{a_n}})$
$=\lim(1+\frac{a_{n-1}}{a_n}})$
$=1+\lim\frac{a_{n-1}}{a_n}}$
$\lim\frac{a_n}{a_{n-1}}=x$より，
$x=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}$
$=1+\lim\frac{a_{n-1}}{a_n}}$
$=1+\frac{1}{x}$
$x=1+\frac{1}{x}$ の両辺を x 倍して，
$x^2=x+1$
$x^2-x-1=0$
$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
$x>0$ で，
$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
