-1の7乗根（3次方程式の解の公式）

－1の7乗根「リゾルベントの値」のつづき

リゾルベントの値がわかったので，リゾルベントと解との関係＞「ラグランジュ・リゾルベント」
$3\alpha=\omega^2 L_{1}+\omega L_{2}$
$3\beta=\omega L_{1}+\omega^2 L_{2}$
$3\gamma=L_{1}+L_{2}$
から，
$\alpha=\frac{1}{3}\left(\omega^2 L_{1}+\omega L_{2}\right)$
$\beta=\frac{1}{3}\left(\omega L_{1}+\omega^2 L_{2}\right)$
$\gamma=\frac{1}{3}\left(L_{1}+L_{2}\right)$
だから，
$\alpha=\frac{1}{3}\left(\omega^2 \left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}+\omega \left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\right)\\ =0.335126+0i$
$\beta=\frac{1}{3}\left(\omega \left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}+\omega^2 \left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\right)\\ =-4.74094+0i$
$\gamma=\frac{1}{3}\left(\left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\right)\\ =4.40581+0i$
とういことで，実根が3つである．

この3つの実根はチルンハウス変換で，元の方程式から2次の項がなくなるように，変形した方程式．
$y^3-\frac{7}{3}y+\frac{7}{27}=0$
の解である．＞以前の記事「ラグランジュ・リゾルベント」

チルンハウス変換の前の方程式は
$t=y+\frac{1}{3}$
とした t の方程式
$t^3-t^2-2t+1=0$
である．＞以前の記事「-1 の7乗根」

この解はα，β，γ に 1/3 を足したもので，
$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(\omega^2 \left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}+\omega \left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\right)\\ =0.668459+ 0i$
$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(\omega \left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}+\omega^2 \left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\right)\\ =-4.407619+ 0i$
$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(\left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\right)\\ =4.73915+ 0i$

最後に，t の方程式は x の方程式
$x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1=0$
において，
$x+\frac{1}{x}=t$
と置いたものである．
この式の両辺を x 倍して，
$x^2+1=tx$
2次方程式
$x^2-tx+1=0$
の解が，－1の7乗根となる．
t に3つの解を代入すれば，それぞれ，虚数解が2個ずつ求まり，－1 以外の －1 の7乗根が6個求まる．
t のまま2次方程式を解くと，
$x=\frac{t\pm\sqrt{t^2-4}}{2}$

$t=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(\omega^2 \left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}+\omega \left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\right)\\ =0.668459+ 0i$
のとき．
$x=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\left(\omega^2 \left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}+\omega \left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\right)\\ \pm\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(\omega^2 \left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}+\omega \left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\right)\right)^2-4}\\ =0.222521\pm0.974928i\\ =\cos\frac{3\pi}{7}\pm\sin\frac{3\pi}{7}$
なので，-1 の7乗根になっている．

$t=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(\omega \left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}+\omega^2 \left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\right)\\ =-4.407619+ 0i$
のとき．
$x=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\left(\omega \left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}+\omega^2 \left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\right)\\ \pm\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(\omega \left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}+\omega^2 \left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\right)\right)^2-4}\\ =-0.62349\pm0.781831i\\ =\cos\frac{5\pi}{7}\pm\sin\frac{5\pi}{7}$

$t=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(\left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\right)\\ =-4.407619+ 0i$
のとき．
$x=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\left(\left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\right)\\ \pm\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(\left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\right)\right)^2-4}\\ =0.900969\pm0.433884i\\ =\cos\frac{\pi}{7}\pm\sin\frac{\pi}{7}$

以上，－1の6個の虚数7乗根を，四則と冪根で表してみた．

－1の7乗根という具体的な方程式を解いたが，t の方程式を ax^3+bx^2+cx+d=0 とおいて同じ手順をたどれば，3次方程式の解の公式が得られる．