コピー用紙で作る正四面体の中心角

先日の結晶のつくる角．＞以前の記事「イベント」
「コピー用紙でも作れるよ．紙の対角線のなす角が正四面体の中心角．」
A4でもB5 でも辺の長さが \(1:\sqrt{2}\) の長方形の対角線が正四面体の中心角になるのだ．

ということで，解説してみた．

まず，立方体の4頂点を選んで，正四面体を作ることができる．
立方体の6面の対角線はすべて同じ長さになるので，正四面体の6辺となる．

中心角とは，正方形の対角線と，立方体の中心＝正四面体の重心　が作る二等辺三角形の角である．図の赤色の線のなす角．

立方体はコピー用紙を2枚組み合わせて，頂点の位置を示すことができる．
図のオレンジの直線3本と正四面体の辺の作る長方形がコピー用紙．なぜなら，立方体の辺と正方形の対角線の長さは \(1:\sqrt{2}\) だから．

コピー用紙の辺にならない正四面体の辺を省いてみた．確かに，コピー用紙の頂点が，正四面体や立方体の頂点を表している．

つまり，切れ込みを入れたコピー用紙を2枚直角に組み合わせるだけで，立方体の頂点と重心（中心）の点を表すことができる．

組合わさっている2枚のコピー用紙の1枚を省く．

コピー用紙を真上から見る．

\(\angle\mathrm{AGD}\) が正四面体の中心角で，それは対角線の交点．

以前，正四面体の中心角を論じたことがあった．＞以前の記事「正四面体の中心角その2」

中心角の余弦は \(-\frac{1}{3}\) だが，それをコピー用紙の対角線で計算してみるのはたやすい．直角三角形の相似がたくさんあるからである．
ざっと書くと次の通り．

短辺が \(1\)，長辺が \(\sqrt{2}\) なので，対角線は \(\sqrt{3}\)．
よって， \(\mathrm{GA}=\mathrm{GD}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

BCの中点 M をとると，コピー用紙の性質から，\(\mathrm{MC}:\mathrm{CD} = 1:\sqrt{2}\) ．
だから，AC と DM は H で直交する．

直角三角形，MCH と MDC は角M が共通で相似だから，
\(\mathrm{CH}:\mathrm{HM} = \mathrm{DC}:\mathrm{CM}\)
\(\mathrm{DC}=1\)
なら，\(\mathrm{MC}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)，\(\mathrm{MD}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)

\(\mathrm{HC}=\frac{\mathrm{MC}}{\sqrt{3}}\times\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}
=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\mathrm{GH}=\mathrm{GC}-\mathrm{HC}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}\)
これは \(\mathrm{GD}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) の \(\frac{1}{3}\) である．
よって，\(\cos\angle\mathrm{AGD}=-\frac{1}{3}\)