コピー用紙で作る正四面体の中心角

先日の結晶のつくる角．＞以前の記事「イベント」
「コピー用紙でも作れるよ．紙の対角線のなす角が正四面体の中心角．」
A4でもB5 でも辺の長さが $1:\sqrt{2}$ の長方形の対角線が正四面体の中心角になるのだ．

ということで，解説してみた．

まず，立方体の4頂点を選んで，正四面体を作ることができる．
立方体の6面の対角線はすべて同じ長さになるので，正四面体の6辺となる．

中心角とは，正方形の対角線と，立方体の中心＝正四面体の重心　が作る二等辺三角形の角である．図の赤色の線のなす角．

立方体はコピー用紙を2枚組み合わせて，頂点の位置を示すことができる．
図のオレンジの直線3本と正四面体の辺の作る長方形がコピー用紙．なぜなら，立方体の辺と正方形の対角線の長さは $1:\sqrt{2}$ だから．

コピー用紙の辺にならない正四面体の辺を省いてみた．確かに，コピー用紙の頂点が，正四面体や立方体の頂点を表している．

つまり，切れ込みを入れたコピー用紙を2枚直角に組み合わせるだけで，立方体の頂点と重心（中心）の点を表すことができる．

組合わさっている2枚のコピー用紙の1枚を省く．

コピー用紙を真上から見る．

$\angle\mathrm{AGD}$ が正四面体の中心角で，それは対角線の交点．

以前，正四面体の中心角を論じたことがあった．＞以前の記事「正四面体の中心角その2」

中心角の余弦は $-\frac{1}{3}$ だが，それをコピー用紙の対角線で計算してみるのはたやすい．直角三角形の相似がたくさんあるからである．
ざっと書くと次の通り．

短辺が $1$，長辺が $\sqrt{2}$ なので，対角線は $\sqrt{3}$．
よって， $\mathrm{GA}=\mathrm{GD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

BCの中点 M をとると，コピー用紙の性質から，$\mathrm{MC}:\mathrm{CD} = 1:\sqrt{2}$ ．
だから，AC と DM は H で直交する．

直角三角形，MCH と MDC は角M が共通で相似だから，
$\mathrm{CH}:\mathrm{HM} = \mathrm{DC}:\mathrm{CM}$
$\mathrm{DC}=1$
なら，$\mathrm{MC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\mathrm{MD}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$\mathrm{HC}=\frac{\mathrm{MC}}{\sqrt{3}}\times\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\mathrm{GH}=\mathrm{GC}-\mathrm{HC}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}$
これは $\mathrm{GD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ の $\frac{1}{3}$ である．
よって，$\cos\angle\mathrm{AGD}=-\frac{1}{3}$