平均値の定理から級数展開へ

数学III の基礎的な話．

平均値の定理のスタンダードタイプ
「f(x)が　a≦x≦bで連続，a＜x＜bで微分可能なら，
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$， a＜c＜b
を満たす c が存在する．」
ラグランジュの平均値の定理ともいう．

もともと，これの b→a の極限が微分f'(a) の定義である．
$\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(a)$

b=a+h とおけば，b-a=h より b→a のとき，h→0 より微分の定義は，
$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$

この形で，平均値の定理を書き直せば，
$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(c)$
a＜c＜b より，a＜c＜a+h ということなので，普通はここで，0＜θ＜1 という変数θを用いて，a＜a+θh＜a+h となるようにして，
$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a+\theta h)$，0＜θ＜1　を満たす θ が存在する．
と言い換え，さらに，分母を払って移項し，
$f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h)$，0＜θ＜1　を満たす θ が存在する．
という形にすることが多く，これは平均値の定理というより，a+h=x，h=x-a と置き換えて，
$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a+\theta(x-a))$，0＜θ＜1　を満たす θ が存在する．
「f(x)のaの周りの（1次）近似式」という．1次近似式とは，つまり「接線」のことである．（アタリマエ）

関数f'(x) が（必要な範囲で）微分可能なら，
$f'(a+h)=f'(a)+hf''(a+\theta h)$
も成り立つわけで，θがかぶらないようにηに書き換えて，
$f'(a+\theta h)=f'(a)+\theta hf''(a+\eta\theta h)$
となるから，それを f(x) の近似式に代入すると，
$f(a+h)=f(a)+h\left(f'(a)+\theta hf''(a+η\theta h)\right)=f(a)+hf'(a)+\theta h^2f''(a+\eta\theta h)$
数III の教科書には，「f''(a)≧0 なら x=a で f(x) は下に凸」とか習うけど，その説明は，結構面倒になされている．
でも，この2次近似を見ると，そのことが一目でわかる．この式の1次までの項，
$f(a+h)=f(a)+hf'(a)$
において，a+h=x とすれば，h=x-a より，
$f(x)=f'(a)(x-a)+f(a)$
は，数IIで習う，「点(a，f(a))を通る傾き f'(a)の直線」つまり接線である．
この2次近似式はその接線に
$\theta h^2f''(a+\eta\theta h)$
がくっついているだけ．ここで，θ>0 だし，h^2≧0 であるから，この2次の項の符号は f''(…)で決まってくる．
f'(a)≧0 なら，その周りで関数値f(x)は接線より値が大きい，つまり「接線の上方にある」といえる．となると「下に凸」になるよね～～～．
と，数IIIで，曲線の凹凸（凸凹？）や変曲点を説明するときは，この説明をすることが多い．

同様に f''(x) にも近似式を適用して，
$f(a+h)=f(a)+hf'(a)+\theta h^2f''(a+h)+\eta\theta h^3f'''(a+\zeta\eta\theta h)$
のようになる．
ここで，カンタンな関数，たとえば f(x)=多項式 であるような関数で実際に近似式を作ると，どんな関数で作っても，必ず θ=1/2，η=1/3 であることがすぐわかる．
$f(a+h)=f(a)+hf'(a)+\frac{1}{2}\cdot h^2f''(a)+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot h^3f'''(a+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot\theta h)$
θ/6 を改めて，θと置きなおして，
$f(a+h)=f(a)+hf'(a)+\frac{1}{2}\cdot h^2f''(a)+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot h^3f'''(a+\theta h)$，0＜θ＜1を満たすθが存在する．

つまり，2次近似，3次近似というわけである．f(a)，f'(a)，f''(a) は定数だから，f(a+h) が「h の2次式，3次式になった」ということ．
これは証明ができて，いわゆる，「テイラー展開」というものである．テイラーの定理では，a+h=x，h=x-a と置き換えた形が普通だな．
$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a) + \frac{(x-a)^2}{2}f''(a) + \frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a) + \\\cdots + \frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)} + \frac{(x-a)^n}{n!}f^{(n)}(a + \theta(x-a))$
証明はちょっとテクニカル．ごちゃごちゃしていてブログに書くのは適当ではない．（進学校にいたときは，授業で証明したときもあったが）

もちろん，f(x)=多項式 のとき，多項式が3次式ならば，
f(x)=3次近似式
ともとの関数と一致して，近似式ではなくなってしまう．
したがって，近似式が最初の関数と一致しないような，多項式ではない関数でなければ，テイラー展開は意味が無い．

テイラー展開で，a=0 を代入したのが，マクローリン展開．
$f(x)=f(0)+xf'(0)+\frac{1}{2}\cdot x^2f''(0)+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot x^3f'''(\theta x)$

sin0=0，cos0=1，(sin)'=cos，(cos)'=-sin なので，sin x の展開式が，
$\sin x=\sin0 +x\cos0+\frac{x^2}{2}(-\sin0)+\frac{x^3}{6}(-\cos0)+\cdots\\=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+ \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots$
と冪級数（無限多項式）になり，数値計算に応用されたりする．
つまり，加減乗除（多項式の計算）しかできぬコンピュータに，いろんな関数の値を計算させる手立てを与える．＞数表

同様に，
$\cos x=\cos0 +x(-\sin0)+\frac{x^2}{2}(-\cos0)+\frac{x^3}{6}\sin0+\cdots \\ =1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!}+\cdots$

指数関数も，e^0=1，(e^x)'=e^x だから，
$e^x=e^0 +xe^0+\frac{x^2}{2}e^0+\frac{x^3}{6}e^0+\cdots \\ =1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\cdots$

さらに，論理の循環を避けるために，この級数を三角関数 sin x，cos x や指数関数 e^x の定義にする．

指数関数の展開式に，虚数単位 i (i^2=-1，i^3=-i，i^4=1，i^5=i，…) として，x の代わりに ix を代入すると，
$e^{ix}=1 + ix + \frac{(ix)^2}{2} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \cdots \\ = 1 + ix - \frac{x}{2} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} + \cdots$
となり，実部と虚部（iの項）に分けると，
$e^{ix}=\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\right)$
と，実部が cos x，虚部が sin x の展開式になっているのがわかる．つまり，
$e^{ix}=\cos x+ i\sin x$
という，波動を表すには欠かせない，指数関数と三角関数を結び付けるオイラーの関係式が得られる．