三角不等式

（つづき）

絶対値といえば，
|a+b|≦|a|+|b|
という不等式がある．

a=3，b=5 なら，
|a+b| = |3+5| = |8| = 8
|a|+|b| = |3| + |5| = 3+5 = 8
で，
|3+5| = |3|+|5|

a=3，b=-5 なら，
|a+b| = |3-5| = |-2| = 2
|a|+|b| = |3| + |-5| = 3+5 = 8
で，
|3+(-5)| ＜ |3|+|-5|
とまぁ，アタリマエであり，教科書には証明が出ている．＞証明サイト

この，不等式
|a+b|≦|a|+|b|
を三角不等式という．
数直線上の2つの数なので，三角形はできないのに，そんな名前がついている．もちろん名前の由来は，図形の三角形の性質から来ている．
「三角形の 2 辺の長さの和は残りの 1 辺の長さよりも大きい」

ベクトルでは，$|\vec{a}|$ をベクトル $\vec{a}$ の大きさ（長さ）と言っている．
つまり，この不等式はそのままベクトルの大きさの不等式
$|\vec{a}+\vec{b}|\le|\vec{a}|+|\vec{b}|$
になる．

つまり図の，三角形ABCについて，
「三角形の 2 辺の長さの和は残りの 1 辺の長さよりも大きい」
ということから，
AB+BC≧AC
といえる．（等号成立は，線分AC上に点Bが重なったとき．）
$\vec{\mathrm{AB}}=\vec{a},\ \vec{\mathrm{BC}}=\vec{b} $
とすれば，
$\vec{\mathrm{AC}}=\vec{a}+\vec{b}$
であり，
$\mathrm{AB}=|\vec{\mathrm{AB}}|=|\vec{a}|,\ \mathrm{BC}=|\vec{\mathrm{BC}}|=|\vec{b}|$
$\mathrm{AC}=|\vec{\mathrm{AC}}|=|\vec{a}+\vec{b}|$
であるので，AC≦AB+BCから，
$|\vec{a}+\vec{b}|\le|\vec{a}|+|\vec{b}|$
となり，数の絶対値と同じ構造を持つ．
この三角不等式から，逆に数の絶対値の不等式も「三角不等式」と呼んでいる．
絶対値記号の不等式を，数の性質だけで証明するのはかなり面倒な作業となるが，ベクトルの三角不等式は，内積の定義から，容易に証明される．
$(|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2-|\vec{a}+\vec{b}|^2 \\
=|\vec{a}|^2+2|\vec{a}||\vec{b}|+|\vec{b}|^2-(|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2) \\
=2(|\vec{a}||\vec{b}|-\vec{a}\cdot\vec{b})\\
=2(|\vec{a}||\vec{b}|-|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta)\\
=2|\vec{a}||\vec{b}|(1-\cos\theta)\\
\ge 0$



絶対値は，複素数 a+bi (i^2=-1) にも定義され，その絶対値は複素平面上の，やはり「原点からの距離」である．
複素数 a+bi は平面上の点 (a, b) であるので，三平方の定理から，原点との距離が$\sqrt{a^2+b^2}$ となるから，絶対値は
$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$
と定義される．

たとえば，α=3+i，β=1+2i のときは，
$|\alpha|=|3+i|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}, $ $|\beta|=|1+2i|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{10},$
であり，α+β=(3+1)+(1+2)i=4+3i であるから，
$\alpha+\beta|=|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
である．√10+√5=3.16+2.24=5.40＞5 より
|α|+|β|≧|α+β|
が成り立っているが，図より，これもやはり「三角不等式」で，数直線上の絶対値と同じ構造を持っている．



複素数 α=a+bi，β=c+di の場合の証明は，ベクトルの成分表示 (a, b)，(c, d) における証明と同じになるが，実は，その証明はコーシーシュワルツの不等式
$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge(ac+bd)^2$
の証明になっている．

そもそもベクトルの，
$|\vec{a}||\vec{b}|\ge\vec{a}\cdot\vec{b}$
を，コーシーシュワルツの不等式という．＞Wikipedia
（実数でも，|a||b|≧ab は成り立つが，複素数は順序体でないのでこの形の不等式はない＞虚数に大小はない）

コーシーシュワルツの不等式は，もともと三角不等式なのである．

＞つづく