数列

質問された，群数列．
数列の問題は，パターンを覚えて，それを適用するものが多いので，「何かうまい方法は？」のような聞かれ方をすることが多い．
たぶん群数列にはそうしたパターンが無いと思う．地道に考えるしかない．
逆に出題側としては，「パターン処理ではない力を見る」という観点で，こうした問題を出すことが多いのだろうな．


自然数の列を，3個，6個，9個，・・・ずつ組にする．
1,2,3, | 4,5,6,7,8,9, | 10,11,12,13,14,15,16,17,18, | 19, 20, 21, ・・・
このとき，

(1) 第n組の先頭の数字を求めよ．

1組の先頭，1，
2組の先頭，4，
3組の先頭，10，
4組の先頭，19，
より，先頭の数字の数列は，
1,4,10,19,・・・
階差数列は 3,6,9,・・・
より一般項 3n
よって，n≧2のときn組の先頭の数字は
1+Σ[項数n-1]3k= 1+ 3Σk = 1+3n(n-1)/2 = (3n^2-3n+2)/2
初項は 1 だから，n=1でも満たし，
n≧1のときn組の先頭の数字は (3n^2-3n+2)/2

(2) 第n組に含まれる自然数の和を求めよ．

n組に含まれる数列は等差数列で，
初項は，(3n^2-3n+2)/2，公差は1，項数は3n より，
その和は
((3n^2-3n+2)/2 + (3n^2-3n+2)/2+(3n-1)×1)×(3n)/2
=3n(3n^2-2n+2)/2

(2) 第n組までの和を求めよ．

1組の項数 3，
2組の項数 6より，2組までの項数9=3(1+2)，
3組の項数 9より，3組までの項数18=3(1+2+3)，
4組の項数 12より，4組までの項数30=3(1+2+3+4)，
なので，n組までの項数 3(1+2+3+・・・+n)=3n(n+1)/2
1から，3n(n+1)/2 までの自然数の和は，
(3n(n+1)/2)(3n(n+1)/2 +1)/2
=3n(n+1)(3n^2+3n+2)/8

(4) 1000は第何組の何番目に現れるか．

n組の先頭の数字 (3n^2-3n+2)/2
が1000を超えないのは，
(3n^2-3n+2)/2< 1000 3n^2-3n+2< 2000 3n^2-3n<1998 n(n-1)<666 27・26=702>666，
26・25=650<666
より，
26組の先頭の数字 (3n^2-3n+2)/2=976 で，
26組の項数は 3×26 = 78 より，27組の先頭が 976+78=1054 だから，
1000は26組に含まれ，26組の 1000-975=25 番目に現れる．