双曲関数の由来

$\large\frac{e^x-e^{-x}}{2}$，$\large\frac{e^x+e^{-x}}{2}$，$\large\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$をそれぞれ双曲正弦(hyperbolic sine)関数$\sinh$，双曲余弦(hyperbolic cosine)関数$\cosh$，双曲正接(hyperbolic tangent)関数$\tanh$として定義されていて，windows の電卓（表示(V)→関数電卓(S)）で，□Hypにチェックを入れてから「sin」などのボタンを押せば値が計算されるようになっている．
まぁ定義だから「覚えてしまえばいい」わけだが．＞wikipedia
単独の$\cosh$は「カテナリー曲線」といって，電線のたるみの曲線で有名でもある（高校の数学IIIにも出てくる）．＞wikipedia

でもなんでまた，$\large\frac{e^x-e^{-x}}{2}$のような指数関数の組み合わせに，三角関数の名前がついたかという歴史的な経緯の考察．
ここにまたオイラーの公式が出てくる．つまり複素数である．オイラーは偉大だ．

複素数の値を計算して，複素数が出てくる関数，つまり複素関数を考える．大学1年後期レベルかな．
$z=x+yi$，$w=u+vi$に対して，$"w=f(z)$つまり$u+vi=f(x+yi)$となる関数である．

たとえば，$w=\frac{1}{z}$などという関数である．

不思議な数πの伝記

正月読書その２
＞不思議な数πの伝記

πの歴史やその周辺の話題が書かれている．同じ出版社と訳者の「素数に憑かれた人たち」よりずっと易しい内容で，高校生にも楽に読めるだろう．「素数に憑かれた人たち」は読み終わるのに半年もかかってしまった．＞柏うろうろ

さて，この程度の数学ならほとんど既知なので斜め読み状態できる．数学的内容は既知であっても，やはり歴史の再認識は楽しい．また，知っているとしてもそれは結果だけであって，その歴史的な背景や数学者の思考の過程を知ることができるのは，やはり有益である．
つまり，その思考に至った「必然」というものがあるはずなのだ．


斜め読みの最中，1箇所，式変形をいろいろ楽しんだ．

本日の無酸素計算(波動関数)

息を止めてやる計算．

Aを振幅，xが位置，tが時刻のとき，複素数の定数kに対して波動関数は
$\Psi=Ae^{i(kx-\omega t)}$

波動方程式を扱うと，しばしば波動関数の複素共役が出てくるが，この波動関数の複素共役を求めてみる．ちなみに「共役」は常用漢字だが，本来は「共軛」と書く．牛車の軛（くびき）にあたる「実部」が共通で虚部が轅（ながえ）にあたる雰囲気．つまり共通の実部をもつ複素数が「共軛（きょうやく）」

さて，この波動関数を展開して，複素数の実部と虚部に分ける．
高校数学以外では，オイラーの関係式
$e^{ix}=\cos x +i \sin x$
を使うかな．

sin の因数分解

調和級数（等差数列の逆数の和）
$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$
が発散することは有名．
分母の2乗の和の級数は収束する．
$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{\pi^2}{6}$

これを発見したのはオイラーだが，ものすごくおおらかな式変形でつきとめた．

「趣味は潮干狩り」

の某教頭の企画で昨日から九十九里へ．今年，自分は参加2年目である．

本来の集まりの目的は，「夏の数学セミナー」の企画会である．今年は数学というより，物理寄り．予定は8月15日でアウトラインは
　I. マクスウェル方程式
　II. オイラーの多面体定理
　III. ナノチューブの科学
　IV. シュレディンガー方程式
　V. 相対性理論と量子論の電磁気学
　VI. 夜の部（飲み会）
といったところ．
一昨年はゲーデルの不完全性定理で講師を引き受けたが，今年はまったくの門外漢．オイラーの多面体定理からナノチューブへのつながりくらいはわかるが，受講者になりきることができそうだ．昨年も一旦は講師を引き受けたが，インターハイでキャンセルした．

企画会からそのまま夜の大宴会へ突入．結局9人でビール40本と，日本酒１升など空ける．
そして，今日は「趣味の潮干狩り」へ．大潮の引き潮を狙って浜へ出る．
おばさんたちは小さいハマグリも採っていたが，われわれは「大人の潮干狩り」．プライドがゆるさない．5cm以下はリリース．

主催者の某教頭は今年転勤したのだが，離任式，新任式の紹介では
「せっかく『趣味は潮干狩り』って自己紹介に書いても，どっちの校長もそこを読んでくれないんだよなー．一瞬言葉に詰まってそこは飛ばされて紹介される．自分としてはそれこそ強調してほしいんだけど」

われわれの潮干狩りは，アサリなどの観光潮干狩りとは別次元．
まず，数学的なのだ．潮干狩りをしながら数学の議論になる．
「ハマグリの密度関数n=f(x,y)は定数関数ではないよね．」
「これが解明されれば，金鉱を掘り当てるように効率的にとれるのだろう」
そういえば，潮干狩りからフーリエ変換の話になって，夏の数学セミナーのテーマになったこともある．
今年の物理数学も，「いかにハマグリを効率的に採るか」から派生したものとは言えなくもない．

一昨年は１個，昨年は０個．
しかし今年の収穫は「8cmが１個」．大収穫であった．

オイラーの関係式

オイラーの関係式(Euler's formula)
$e^{ix}=\cos x+i\sin x$
を導くのはふつうは，マクロリン展開であるが，英語版の wiki を見ていたら，おもろい証明方法が・・・

$f(x)=\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}$
とおく．
微分して，

sin1度の厳密解（オイラーの公式編）

以前，sin1度の厳密解を求めるとき，加法定理を駆使し，最後にカルダノの解の公式で3次方程式の一般解から求めた．＞以前の記事
当時から，オイラーの関係式
$e^{ix}=\cos x + i\sin x$
をうまく使えば，できる気がしていたが，最近，ちょっと手を動かしたら，すぐできたのでメモ．

sin1度の厳密解

sin1ではなくsin1度．

普通は級数展開（マクローリン展開）
\[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\]
を使えば任意の精度で求まるので，コンピュータで数値計算を行う場合はこの式を使う．（ただし，エクセルなどはCPUに組み込まれた関数を呼び出しており，CPUの関数は CORDIC を用いている．）

たとえば，角度が1（ラジアン）のとき，sin1なら
\[\sin 1=1-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}-\frac{1}{7!}+\cdots = 0.841470985\]
で あるが，1(ラジアン)は半径と同じ長さの弧長に対する円の中心角なので，それに対する　sin1 は有理数係数の代数方程式の解にはならない．（古代ギリシャの３大問題，「円周率と同面積の正方形の作図不可能」に帰着する）したがって，1（ラジアン）の角は，コン パスと定規で作図できない．
60度=π/3=1.04719755 なので，sin 1 は sin60度=0.866025404より少し小さい．

sin1度なら
1度=π/180=0.0174533
なので，sin1度は
\[0.0174533-0.0174533^3/6+0.0174533^5/120-0.0174533^7/5040\]
くらいまでやれば十分である．＞ google電卓
sin1度としては十分の精度である．＞ google電卓


1度は，中心角を360等分した大きさなので，sin1度は代数方程式の解になる．
したがって，ここでは敢えて代数方程式を解き，整数の加減乗除と累乗根を用いて厳密解を求めるという，不毛の作業を行ってみる．
流れとしては36度の三角比(sin cos)と30度のそれを使って 6度の cos を求め，半角公式で3度を求め，3倍角公式を逆算して1度にする．

数表

三角関数表
角度　　sin　　　　cos　　　　tan
0°　　0.0000　　1.0000　　0.0000
1°　　0.0175　　0.9998　　0.0175
2°　　0.0349　　0.9994　　0.0349
3°　　0.0523　　0.9986　　0.0524
・・・　　　・・・　　　　・・・　　　　・・・

どうやって計算したのですか？実測ですか？

数表を見ていると，そう思ってしまうが，実測ではない．数式があって計算をする．
江戸時代にはすでにその数表，八線表もあった．
実測でこんなに桁数を出すのは無理．
高校の教科書の数表はせいぜい小数4桁だが，昔の数表は7,8桁出ていた．そんな桁数を出すには実測では不可能である．
級数計算を使う．
x は弧度法（1周2πで測る）のとき，


$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots$

という級数展開（テイラー展開）になる．30度＝π/6 のとき sin30度=0.5 だが，google の電卓では第5項つまり，

$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}$

で，0.5に収束してしまった．

sin がわかれば残りは，級数展開は不要．
cos は角度をsinと逆順にすればOKだし，tan=sin/cos，八線表の cot, sec, cosec はそれぞれ tan, cos, sin の逆数．

表記の説明
3! は3の階乗 3・2・1=6
つまり
sin x = x-xxx/6+xxxxx/120-xxxxxxx/5040+xxxxxxxxx/362880
で google の電卓には十分な桁数が得られる．
実際の計算機やコンピュータではもっと高速なCORDICという方法を使っているが．

この級数展開において，x に虚数単位 I を（i^2=-1）を代入して，sin i=1.17520119 と求まる．コンピュータでは級数展開の多項式に代入しているだけである．

この機能のおかげでオイラーの等式$e^{\pi i}=-1$ 確かめられる．
$2^{(\tan i)}$ だって求まる．

虚数の角度にはどんな意味があるのだろう・・・

意味は無い．
微分の知識で級数展開（テイラー展開）したものに虚数を代入しただけ．値は求まり，「複素関数」として意味を持つが，いわゆる「角度」といった概念はない．
＞くろべえ: 虚数の三角関数

小学校で習う「大きさ」の概念を，負の数に引きずると，負の数が理解不能になる．
sin(虚数) で虚数に角度を引きずると複素関数は理解できない．

見えないものがなんの役に立つのか？

電磁気学．目に見えない電気，磁気の理論は複素数を使うとすっきり書ける．
＞くろべえ: 虚数の存在
＞くろべえ: １アマ国試

フェルマーの定理を解決した代数多様体論は複素数3次元，つまり実数6次元の世界．
複素関数論は非常に美しくきれいな世界．理論もすっきりしている．
実数に限定した微積分はなんだかどろどろしていて，本当に現実世界のようだ．

真数条件

$\log_2(-1)$の値。

つまり，$2^x=-1$ の$x$。

$2^x>0$ だから，マイナスは許されない。

つまり，$\log_{2}真数$ で，$真数=2^x >0$ が真数条件だから，高校数学では$\log_2(-1)$ は「定義できない」

が，虚数なら存在する。

先日，初任者研修の研究授業で，真数条件を説明していた。

暇だったので，指導案の裏に手計算で$\log_2(-1)$の値を計算してみた。

底の変換公式

　$\log_a b=\frac{\log_p b}{\log_p a}$

を使って，自然対数に変換する。$e=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=2.71828...$ である。

　$\log_2(-1)=\frac{\log_e (-1)}{\log_e 2}=\log_e (-1)\times \log_2 e$

分子$\log_e (-1)$ の値

虚数単位 $i^2=-1$ を用いて，$e^{\pi i}=-1$ より，$\log_e (-1)=\pi i=3.14 i$ 

これはオイラーの関係式 $e^{\theta i}=\cos\theta+i\sin\theta$ で$\theta=\pi $のとき

　$e^{\pi i}=\cos\pi+i\sin\pi = -1+i0 = -1$ 

$\log_2 e$ の値は底が10の常用対数に変換する。

　$\log_2 e=\frac{\log_{10} e}{\log_{10} 2}$

$\log_{10} 2=0.301$ は覚えているが，まぁ $2^{10}=1024$ だからおよそ $2^{10}=1000$

　$\log_{10}2^{10}=\log_{10}1000$

　$10\log_{10}2=3$

　$\log_{10}2=0.3$

と思ってよい。　

 

$\log_{10} e=\log_{10} 2.7=\log_{10}\frac{27}{10}=\log_{10}3^3-\log_{10}10=3\log_{10}3 -1$

$\log_{10} 3=0.477$ は覚えている。
　$\log_{10} e=3\times 0.477-1=0.431$

$\log_2 e=\frac{\log_{10} e}{\log_{10} 2}=\frac{0.431}{0.301}=1.43$

$\log_2(-1)=\log_e (-1)\times\log_2 e ={3.14 i}\times{1.43}=4.49i $

google電卓で検算。なかなか良い値である。

という計算を初任に見せたら，びっくりしていたｗ

複素数の双曲線関数

sinh(1+2i) の実部と虚部．

まず定義 $\sinh{x}=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$ より，
$sinh{(1+2i)}=\frac{1}{2}(e^{1+2i}-e^{-(1+2i)})$
指数法則 $e^{a+b}=e^ae^b$ より，
$=\frac{1}{2}({e^1}e^{2i}-e^{-1}e^{-2i})$

Mid Summer 2006

１．高校生のためのマクスウェル方程式
２．オイラーの多面体定理
３．ナノチューブの科学
４．高校生のためのシュレディンガー方程式
５．相対性理論＆量子論の電磁気学
６．夜の宴

平均値の定理から級数展開へ

数学III の基礎的な話．

平均値の定理のスタンダードタイプ
「f(x)が　a≦x≦bで連続，a＜x＜bで微分可能なら，
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$， a＜c＜b
を満たす c が存在する．」
ラグランジュの平均値の定理ともいう．

もともと，これの b→a の極限が微分f'(a) の定義である．