sin1度の厳密解（オイラーの公式編）

以前，sin1度の厳密解を求めるとき，加法定理を駆使し，最後にカルダノの解の公式で3次方程式の一般解から求めた．＞以前の記事
当時から，オイラーの関係式
$e^{ix}=\cos x + i\sin x$
をうまく使えば，できる気がしていたが，最近，ちょっと手を動かしたら，すぐできたのでメモ．

まず，30度
$e^{i\frac{\pi}{6}}=\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$

続いて36度
$e^{i\frac{\pi}{5}}=\cos\frac{\pi}{5} + i\sin\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}+i\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$


36度-30度=6度なので，
$=\frac{e^{i\frac{\pi}{5}}}{e^{i\frac{\pi}{6}}}=\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{4}+i\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}{\frac{\sqrt{3}+i}{2}}\\ =\frac{1}{8}\left(\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)+i\frac{1}{8}\left(-1-\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}\right)$

6度÷2=3度より
$=(e^{i\frac{\pi}{30}})^{\frac{1}{2}} \\ =\sqrt{\frac{1}{8}\left(\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)+i\frac{1}{8}\left(-1-\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}\right)}$

3度÷3=1度より
$=(e^{i\frac{\pi}{30}})^{\frac{1}{3}} \\ =\left(\sqrt{\frac{1}{8}\left(\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)+i\frac{1}{8}\left(-1-\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}\right)}\right)^{\frac{1}{3}}$
これは，
$e^{i\frac{\pi}{180}}=\cos\frac{\pi}{180} + i\sin\frac{\pi}{180}$
より，虚部が sin1度なので，この式から sin1度を切り出す．
$e^{i\frac{-\pi}{180}}=\cos\frac{-\pi}{180} + i\sin\frac{-\pi}{180}=\cos\frac{\pi}{180} - i\sin\frac{\pi}{180}$
を用いれば，
$e^{i\frac{\pi}{180}} - e^{i\frac{-\pi}{180}}=2i\sin\frac{\pi}{180}$
から，
$=\frac{1}{2i}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{8}\left(\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)+i\frac{1}{8}\left(-1-\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}\right)}\right)^{\frac{1}{3}}\right.$
$\left.-\left(\sqrt{\frac{1}{8}\left(\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)-i\frac{1}{8}\left(-1-\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}\right)}\right)^{\frac{1}{3}}\right)$
google 電卓で検算すると　0.0174524064　で，sin1度の数値計算と同じだから，これも sin1度の厳密解である．