真数条件

$\log_2(-1)$の値。

つまり，$2^x=-1$ の$x$。

$2^x>0$ だから，マイナスは許されない。

つまり，$\log_{2}真数$ で，$真数=2^x >0$ が真数条件だから，高校数学では$\log_2(-1)$ は「定義できない」

が，虚数なら存在する。

先日，初任者研修の研究授業で，真数条件を説明していた。

暇だったので，指導案の裏に手計算で$\log_2(-1)$の値を計算してみた。

底の変換公式

　$\log_a b=\frac{\log_p b}{\log_p a}$

を使って，自然対数に変換する。$e=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=2.71828...$ である。

　$\log_2(-1)=\frac{\log_e (-1)}{\log_e 2}=\log_e (-1)\times \log_2 e$

分子$\log_e (-1)$ の値

虚数単位 $i^2=-1$ を用いて，$e^{\pi i}=-1$ より，$\log_e (-1)=\pi i=3.14 i$ 

これはオイラーの関係式 $e^{\theta i}=\cos\theta+i\sin\theta$ で$\theta=\pi$のとき

　$e^{\pi i}=\cos\pi+i\sin\pi = -1+i0 = -1$ 

$\log_2 e$ の値は底が10の常用対数に変換する。

　$\log_2 e=\frac{\log_{10} e}{\log_{10} 2}$

$\log_{10} 2=0.301$ は覚えているが，まぁ $2^{10}=1024$ だからおよそ $2^{10}=1000$

　$\log_{10}2^{10}=\log_{10}1000$

　$10\log_{10}2=3$

　$\log_{10}2=0.3$

と思ってよい。　

 

$\log_{10} e=\log_{10} 2.7=\log_{10}\frac{27}{10}=\log_{10}3^3-\log_{10}10=3\log_{10}3 -1$

$\log_{10} 3=0.477$ は覚えている。
　$\log_{10} e=3\times 0.477-1=0.431$

$\log_2 e=\frac{\log_{10} e}{\log_{10} 2}=\frac{0.431}{0.301}=1.43$

$\log_2(-1)=\log_e (-1)\times\log_2 e ={3.14 i}\times{1.43}=4.49i$

google電卓で検算。なかなか良い値である。

という計算を初任に見せたら，びっくりしていたｗ