虚数の導入とイデアル

試験監督をしながら，数学会の数学通信をぱらぱら．
飯高茂が虚数の導入について書いた文章に目が留まる．

そこにあった，ハミルトンのやりかたの導入は，やはり飯高茂がずいぶん前に書いたのを読んだことがあって，以前いた進学校ではそのやり方でやったこともあった．

というより，当時こんな質問を受け，それに答える形で授業をやった．
「3+i の『+』ってなんですか？」
気持ちはわかる．
つまり，3+4=7 の 『+』とは明らかに違う．気持ちとしては，「2乗してマイナスになるどこの馬の骨ともわからぬ数iと『+』ってどういう意味か」ということだ．

もちろん歴史的には，実数解が3つである3次方程式を3つの実数解が，共軛複素数の組で表され，そいつらが， a+bi の形をもっている．早い話，3次方程式を解くため（カルダノの方法）に出てくる2次方程式の解の公式が
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
で，このルートの中がマイナスになったときの，ルートの前の±に由来しているだけではある．

高校の教科書では，2乗して -1 になる数を i と定めて，a+bi の形の数を考え，その数同士の計算は普通の文字のように計算して， $i^2$が出てきたら -1 に置き換える，としている．
これだけだと，
$\sqrt{-1}\sqrt{-1}=sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=1$
がいけない理由を，なんの根拠もなく，
「√ の中同士を先に計算しちゃダメよ」
とか，他にもいろいろ破綻しそうなところを取り繕って説明することがときどきある．が，まぁ高校レベルではさほど込み入ったことにはならないから，まぁなんとかなる．

が，はやり，素朴な疑問
「3+i の『+』ってなんですか？」
に答えるにはハミルトン流だろうなぁ．

ハミルトン流の虚数の定義というか公理は，順序対 (a,b) に，はじめから破綻のないように演算を規定する．
つまり，ボールのけりあいのスポーツを見て，破綻のないルールを考え，「そのルールをもつスポーツをサッカーという」と決めるのと同じようなもの．
順序対の和や差，実数倍はベクトルのそれと同じ．
積と商は
(a,b)×(c,d) = (ac-bd, ad+bc)，
(a,b)÷(c,d) = ( (ac+bd)/(c^2+d^2), (bc-ad)/((c^2+d^2)) )
と決めてしまえば，なんの破綻もない．
そして，(a,0) を実数の a と同一視　(a,0)=a
虚数単位 (0,1)=i
と定義すれば，
i^2 = i×i = (0,1)×(0,1) = (0・0-1・1, 0・1+1・0 ) = (-1,0) = -1
と，実数の組の計算から，自然に虚数が導入され，破綻もない．
この意味で 3+i の『+』は (3,1) の『,』の意味であるとわかる．演算の+ではないのだ．

数学C の行列をやったときも，行列を使った再定義の授業をしたことがあった．
$I=\left(\matrix{0&-1\\1&0}\right)$
と定義すれば I^2 = -E
となり，aE を実数の a と同一視し，aE+bI を複素数と考えると，行列の演算から自然に演算構造が定義される．

で，数学通信の飯高茂の解説文はナイス
高校の教科書「2乗して -1 になる数を i と定めて，a+bi の形の数を考え，その数同士の計算は普通の文字のように計算して， $i^2$が出てきたら -1 に置き換える」
というのは，背景はイデアル論であるというもの．
実数体R上の多項式環の元，多項式 X^2+1 で生成されるイデアルによる剰余環で定義されるわけだ．

多項式（多項式環の元）P(X)を X^2+1 で割れば，
P(X) = (X^2+1)Q(X)+R(X)
その余りは，1次式 R(X) = a+bX．
つまり剰余環の元はすべて a+bX の形．
P(X) = (X^2+1)Q(X)+R(X) ≡ R(X) = a+bX mod(X^2+1)
で，X の代わりに文字 i を使うと，高校の教科書の説明そのものになる．
「計算は普通の文字のように計算して， $i^2$が出てきたら -1 に置き換える」
こりゃ剰余環の考えそのものではないか！すっきり！
つまり，この定義は便宜的なものではなく，剰余環でのことだから，すでに多項式環の構造から自然に入る演算構造があり，ハミルトン流の演算の決め方などせずに，全く破綻はしない．高校の教科書にはこんな深い背景があったのだ．（もちろん，高校の授業では使えない）
こりゃ「深イィー」

＞追記「関係」