代数学の基本定理

代数学の基本定理
「次数が 1 以上の任意の複素係数一変数多項式には複素根が存在する」
ついでにいうと，n次方程式なら根の個数は高々n個．（なぜなら，1つ存在すれば，それによって因数分解でき，次数を1つ下げられる．繰り返し次数を下げれば，n個の1次式の積に因数分解できる．）

例1
$x^2-x-2=0$ の根は x=2, -1 の2個

例2
$x^6-x^3+2x-9=0$ の根は
x= -1.16455 ± 0.717383 i, -0.157794 ± 1.45086 i, 1.32235 ± 0.714184 i
の6個．

例3
$x^5-(1+i)x^4+(1-i)=0$ の根は
x= -0.876861 + 0.261708 i, -0.368144 - 0.808785 i, 0.179315+ 1.12813 i, 0.829944- 0.521752 i, 1.23575+ 0.9407 i
の5個．

さて，根の公式（係数の加減乗除と冪根による根の表示）は4次方程式までしか作れないことが証明されているが，根の存在は別問題である．
どんなに次数が高くても根は存在することを主張するのが，代数学の基本定理である．

定理の「感覚的な」証明．
これには，旧教育課程の複素数平面の知識が必要になる．
それは，複素数 2+3i を座標の (2, 3) に対応させる考え方である．

複素数の積は，平面上の点の回転と拡大（縮小）を伴う．
1+i√3 は座標(1, √3) だからx軸からの 60度のところにあり，原点からの距離は 2である．これを，「偏角60度，絶対値2」と表現する．
√3+i は(√3, 1) だから，偏角 30度，絶対値2である．
この両者をかけると，
(1+i√3)(√3+i) = 4i
これは (0, 4) で縦軸上にあるから偏角90度で，絶対値は4である．
このように複素数の積は，積の絶対値は絶対値の積で，積の偏角は偏角の和になる．

2乗の場合は，2乗の絶対値は絶対値の2乗，2乗の偏角は偏角の2倍になる．
n乗の場合は，n乗の絶対値は絶対値のn乗，n乗の偏角は偏角のn倍になる．

原点を中心とする円上の点は，すべて絶対値が半径に等しいわけだが，この点で表される複素数をn乗すると，絶対値は絶対値のn乗で，偏角は偏角のn倍になるから，やはり円上の点に写る．写る先の円の半径（絶対値）は元の半径のn乗になる．もちろん偏角も変わるが，絶対値はすべて元のn乗だから同じだから，円周上にあることには変わりない．
元の円上を点が1回転する間に， n 乗で写った先は， 元の半径の n 乗の半径の円周上を n回転する．

さて，関数 $f(z)=z^3-2z^2-5z+6$ で円上の点がどのように写るかを考える．

代入する円の半径が100 ならば，$z^3$ で写る円の半径は3乗で1000000 である．
2次以下のそれぞれの項に代入すると，$2z^2$ で写る円の半径は2乗を2倍して20000 であるから，3乗の円に比べれば十分に小さい．
1次の項で写る円の半径は500 だから，さらに影響はない．
このように，代入する円の半径が十分に大きければ，$f(z)=z^3-2z^2-5z+6$ の描く図は，ほとんど $f(z)=z^3$ の描く円に近くなる．

さて，ここで f(0)=6 である．つまり原点を代入して写る先は，点(6, 0)である．

f(z) は連続関数だから，元の円の半径を 0 から 100 に変化させれば，f(z) で写る先は，1点 (6, 0) から半径が1000000 のだいたい円まで連続的に変化する．
ということは，その間に，f(z)=0 (原点) を少なくとも1回は横切るはずである．
その横切る元の円上の点を αとすれば，
f(α)=0
を満たすので，αは根の一つである．
よって，必ず根が存在するといえる．


関数 $f(z)=z^3-2z^2-5z+6$

半径0.1 の青い円は，6　を中心とする半径 0.5 のほぼ円に写る．つまり，z^3 の項は半径0.001，z^2の項は半径0.01の円に写るから影響は少なく，ほぼ -5z+6 によって写される曲線 「半径 0.5 のほぼ円」に写る．


半径を大きくするといろいろな形に変化．
半径2 の青い円の写る先は，次のようになる．


青い円の半径を100にすると，巨大なほぼ円に写る．


1点6から，巨大なほぼ円に変化する間に，必ず原点0を1回は横切る．
この関数の場合は3回横切っている．＞定理の絵