調和級数と素数

以前の記事で，調和級数と素数pの式$\frac{p^2}{p^2-1}$の無限積が等しいことを書いた．
$\frac{2^2}{2^2-1}\times\frac{3^2}{3^2-1}\times\frac{5^2}{5^2-1}\times\frac{7^2}{7^2-1}\times\cdots$
$=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots"$

「2乗」がくっついているが，それがなくても変形方法は同じなので，
$\frac{2}{2-1}\times\frac{3}{3-1}\times\frac{5}{5-1}\times\frac{7}{7-1}\times\cdots$
$=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots" style=$
となる理由．

まず，それぞれの素数pの式$\frac{p}{p-1}$について，分母分子を p で割って，$\frac{1}{1-\frac{1}{p}}$の形にする．p=2 のときは，
$frac{2}{2-1}$
の分母分子を2で割って
$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$
ここで，初項1，公比r，項数n の等比数列の和は
$1+r+r^2+r^3+\,\cdots\, +r^{n-1}=\frac{1-r^n}{1-r}$
より，n→∞とすれば$|r|\lt1$のとき$r^n\to0$だから，和も収束して，
$1+r+r^2+r^3+\,\cdots=\frac{1}{1-r}$
このことから，
$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$
は，初項1，公比$\frac{1}{2}$の等比級数の和の極限である．
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\,\cdots=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$

他の素数についても同様だから，
$\frac{2}{2-1}\times\frac{3}{3-1}\times\frac{5}{5-1}\times\frac{7}{7-1}\times\cdots$
$=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{3}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{5}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{7}}\times\cdots$
$=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\,\cdots\,)(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}\,\cdots\,)(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}\,\cdots\,)(1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{7^3}\,\cdots\,)\,\cdots$
これを展開すると，調和級数
$=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$
になる．なぜなら，はじめの1はすべての括弧の中の先頭にある1の積で表される．
$1=1\cdot1\cdot1\cdot1\cdots$
第2項の$\frac{1}{2}$は最初の括弧の中の$\frac{1}{2}$を取り，それ以降の括弧からは1ばかりを選んで積を作る．
$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot1\cdots$
以下同様に，
$\frac{1}{3}=1\cdot\frac{1}{3}\cdot1\cdot1\cdots$
$\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}\cdot1\cdot1\cdot1\cdots$
$\frac{1}{5}=1\cdot1\cdot\frac{1}{5}\cdot1\cdots$
$\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot1\cdot1\cdots$
$\frac{1}{7}=1\cdot1\cdot1\cdot\frac{1}{7}\cdots$
$\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}\cdot1\cdot1\cdot1\cdots$
$\frac{1}{9}=1\cdot\frac{1}{3^2}\cdot1\cdot1\cdots$
$\frac{1}{10}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{1}{5}\cdot1\cdots$
と続く．

このように素数の式の無限積
$\frac{2}{2-1}\times\frac{3}{3-1}\times\frac{5}{5-1}\times\frac{7}{7-1}\times\cdots$
は調和級数
$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$
はに等しいわけだだが，このことからも，素数が無限にたくさんあることがわかる．