虚数の三角関数

今日，三角関数のテスト監督をしていたら，授業担当者が問題を訂正．
$\sin\theta-\cos\theta=\sqrt{3}$のとき，$\sin\theta\cos\theta$の値を求めよ．
という問題で，$\sqrt{3}$から$\frac{1}{2}$に直していた．

間違った問題$\sqrt{3}$でも $\sin\theta\cos\theta$ の値は求まるが，この場合の sin と cos のそれぞれの値は虚数になるから，高校の数学の範囲外ではある．


正しい問題
$\sin\theta-\cos\theta=\frac{1}{2}$
の場合は次のようになる．

$\sin\theta-\cos\theta=\frac{1}{2}$の両辺を2乗して，
$\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=\frac{1}{4}$
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$だから，
$1-2\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{4}$
$\sin\theta\cos\theta=\frac{3}{8}$
と答えが求まる．

ここからsin cos の値を求めることができる．
$(\sin\theta+\cos\theta)^2=\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=1+2\sin\theta\cos\theta$
であるから，
$(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\times\frac{3}{8}=\frac{7}{4}$
より
$\sin\theta+\cos\theta=\pm\frac{\sqrt{7}}{2}$
である．

$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{7}}{2}$
$\sin\theta-\cos\theta=\frac{1}{2}$
より，辺々加えて，
$2\sin\theta=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$
$\sin\theta=\frac{\sqrt{7}+1}{4}$
などが求まる．
$\frac{\sqrt{7}+1}{2}$
の値はおよそ 0.911438＝sin65.7度 程度である．


これが間違った問題
$\sin\theta-\cos\theta=\sqrt{3}$
のときは次のように，とりあえず同じ手順になる．

両辺を2乗して，
$\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=3$
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$だから，
$1-2\sin\theta\cos\theta=3$
$\sin\theta\cos\theta=-1$
と答えが求まるから，一見，高校の問題になりそうである．

では，上記と同様，sin，cos を求めてみる．
$(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta$
から，
$(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\times(-1)=-1$
より
$\sin\theta+\cos\theta=\pm i$　(i は虚数単位)
となり，高校数学の範囲ではなくなる．

このまま，計算を続行すると，
$\sin\theta+\cos\theta=\pm i$
$\sin\theta-\cos\theta=\sqrt{3}$
より，辺々加えて，
$2\sin\theta=\sqrt{3}\pm i$
$\sin\theta=\frac{\sqrt{3}\pm i}{2}$
同様に，辺々引いて，
$\cos\theta=\frac{-\sqrt{3}\pm i}{2}$
などと求まる．
では，この$\theta$ を求めてみようと思う．当然虚数である．

試験監督をやりながら，求めてみた．
Euler の関係式，
$e^{x+yi}=e^x(\cos y + i \sin y)$
を使うと，
$\theta=\frac{\pi}{4}+i\log{\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$
という虚数が求まった．
つまり，
$\sin(\frac{\pi}{4}+i\log{\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}})=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$
あとで数値計算をしてみたらぴったり．
$\sin(0.785398+0.658479i)=0.866025+0.5i$

（つづく）


参考＞不思議な数πの伝記