線分・正方形・立方体

0次元
原点しかない

1次元
原点から1本の座標軸．
その座標軸の方向に原点から長さ1だけ動かしてできる図形が線分．
頂点の座標は 2点O(0),A(1)
長さ1の1次元の辺である．


2次元
2次元の正方形は1次元のOA を2番目の座標軸方向に1動かしてできる図形で，
頂点は
O(0,0), A(0,1), B(1,1), C(1,0)
の4つ ．
4辺あるから正四辺形ともいう，対角線の長さはOB=√2

3次元
3次元の立方体は2次元の正方形を3番目の座標軸方向に1動かしてできる図形で，
頂点は
O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0),
D(0,0,1), E(1,0,1), F(1,1,1), G(0,1,1)
の8つ，12辺，6正方形，対角線の長さはOF=√3
6つの正方形で囲まれているから正六面体ともいう．

4次元
4次元の立方体は3次元の立方体を4番目の座標軸方向に1動かしてできる図形で，
頂点は
(0,0,0,0), (1,0,0,0), (1,1,0,0), (0,1,0,0),
(0,0,1,0), (1,0,1,0), (1,1,1,0), (0,1,1,0),
(0,0,0,1), (1,0,0,1), (1,1,0,1), (0,1,0,1),
(0,0,1,1), (1,0,1,1), (1,1,1,1), (0,1,1,1)
の16個，32辺，24正方形，8立方体に囲まれる図形．対角線の長さは √4=2
8つの立方体に囲まれているから，「８胞体」という．

5次元
5次元の立方体は4次元の８胞体を5番目の座標軸方向に1動かしてできる図形で，
頂点は
(0,0,0,0,0), (1,0,0,0,0), (1,1,0,0,0), (0,1,0,0,0),
(0,0,1,0,0), (1,0,1,0,0), (1,1,1,0,0), (0,1,1,0,0),
(0,0,0,1,0), (1,0,0,1,0), (1,1,0,1,0), (0,1,0,1,0),
(0,0,1,1,0), (1,0,1,1,0), (1,1,1,1,0), (0,1,1,1,0),
(0,0,0,0,1), (1,0,0,0,1), (1,1,0,0,1), (0,1,0,0,1),
(0,0,1,0,1), (1,0,1,0,1), (1,1,1,0,1), (0,1,1,0,1),
(0,0,0,1,1), (1,0,0,1,1), (1,1,0,1,1), (0,1,0,1,1),
(0,0,1,1,1), (1,0,1,1,1), (1,1,1,1,1), (0,1,1,1,1)
の32個，辺や面などはちょっと数える根性はない．対角線の長さは √5

模型を作れなくても「書ける」のが数学．まさに「数学は言語である」といえる．
n次元の幾何学の基本は，このn次元の直交座標である．＞くろべえ : 次元