次元

1次元は直線，2次元は平面（縦横），3次元は立体（縦横高さ），4次元は？
縦横高さにこだわれば4次元目は「時間だよ」とか「4時限目は体育だよ」とかいろんな議論はある．

数学の世界ではなんでもいい．変数を4つならべれば4次元であり，100個並べれば100次元である．
理系の大学1年生で習う線型代数学のベクトルや行列は一般に n次元で扱うし，微積分も1年後期か2年くらいではn次元空間である．
量子論（かな？）に使う Hilbert 空間は無限次元である．


n次元とは別に，縦横高さ・・・ではなく，
（バスト，ウェスト，ヒップ，身長，体重）
でもいいし，
（風速，気圧，湿度，温度，降水量，日照量，風水）
でもいい．
それらを解析するための n 次元の微積分である．


幾何学的には原点が中心，半径 r の
円の方程式 $x^2+y^2=r^2$
球の方程式 $x^2+y^2+z^2=r^2$
4次元球の方程式 $x^2+y^2+z^2+w^2=r^2$
5次元球の方程式 $x^2+y^2+z^2+w^2+v^2=r^2$
6次元球の方程式 $x^2+y^2+z^2+w^2+v^2+u^2=r^2$
n次元球の方程式 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+\cdots+x_n^2=r^2$
こうなったらシグマを使って，
n次元球の方程式 $\sum_{k=1}^{n}x_k^2=r^2$

するってーと Hilbert 空間の球は
$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}x_k^2=r^2$
・・・・・・
である．変数が増えるだけ．


さて，微分幾何学では次元による様子の違いがいろいろある．
微分同相ならいつも同相だが，同相なら微分同相か？という問題．
1956年 J. Milnor が7次元球面に同相だが，微分同相でない球面が有限個存在することを示した．
「exotic sphere(異種球面と訳されている)」と名づけた．
さらに，1982年のDonaldsonの結果によれば4次元では異種ユークリッド空間が無限個存在することが示される．
ポアンカレ予想も，先に5次元以上で成り立つことが1960年に示され，4次元では1981年に示された．
残りは3次元ポアンカレ予想．これにはクレイ研究所が100万ドルの賞金を出すようだ．＞ポアンカレ予想 - Wikipedia