y=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
とおくと,
\sin y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
左辺をxで微分.合成関数の微分公式で,
\cos y \times y'
cos y を x の式にする.
\sin y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
より cos y を x の式に直す.
\sin^2 y=\frac{x^2}{1+x^2}
1-\sin^2 y=1-\frac{x^2}{1+x^2}
\cos^2 y=\frac{1+x^2-x^2}{1+x^2}=\frac{1}{1+x^2}
\cos y=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}
したがって,
\sin y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
の左辺の微分は
\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \times y' ・・・(1)
一方,右辺の微分は,
\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)'
分母の√がうっとうしいので,指数表記して,
=\left(x(1+x^2)^{\frac{-1}{2}}\right)'
ライプニッツの公式で,
=(x)'(1+x^2)^{\frac{-1}{2}}+x\left((1+x^2)^{\frac{-1}{2}}\right)'
=1\cdot(1+x^2)^{\frac{-1}{2}}+x\cdot\frac{-1}{2}(1+x^2)^{\frac{-3}{2}}\left(1+x^2\right)'
=(1+x^2)^{\frac{-1}{2}}-\frac{x}{2}(1+x^2)^{\frac{-3}{2}}\cdot2x
=(1+x^2)^{\frac{-1}{2}}-x^2(1+x^2)^{\frac{-3}{2}}
=(1+x^2)^{1+\frac{-3}{2}}-x^2(1+x^2)^{\frac{-3}{2}}
=\left((1+x^2)^1-x^2 \right)(1+x^2)^{\frac{-3}{2}}
=(1+x^2-x^2)(1+x^2)^{\frac{-3}{2}}
=1\cdot(1+x^2)^{\frac{-3}{2}}
=(1+x^2)^{\frac{-3}{2}}
=\frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}
(1)と等しいので,
\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \times y'=\frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}
y'=\frac{\sqrt{1+x^2}}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{1+x^2}
でも,
\frac{1}{1+x^2}
の原始関数は
\arctan x
だったと思う.それを利用して,円周率の計算をしていた.
とうことは,
\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\arctan x
かも.式変形してみる.
y=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
より
\sin^2 y=\frac{x^2}{1+x^2}
1-\sin^2 y=1-\frac{x^2}{1+x^2}
\cos^2 y=\frac{1+x^2-x^2}{1+x^2}=\frac{1}{1+x^2}
ここで,
\tan^2 y=\frac{\sin^2 y}{\cos^2 y}=\frac{\frac{x^2}{1+x^2}}{\frac{1}{1+x^2}}=x^2
つまり
\tan y=x
y=\arctan x
となる.
これを知っていれば,
y=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\arctan x
\tan y=x
の導関数は,逆関数の微分法で,
y'=\frac{1}{(\tan y)'}
=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2 y}}
=\frac{1}{1+\tan^2 y}
=\frac{1}{1+x^2}
こんにちは、突然失礼いたします。
返信削除数学の授業でこちらのページにあるarctanxの微分になることをやりました。
2arccos√x+1/√2の微分は-1/√1-x^2でarccosxの微分と一致しました。
これはどのように証明していけばよいのでしょうか…………?ヒントなど頂けると助かります。
藪から棒に申し訳ないのですが、お時間がありましたらよろしくお願いいたしますm(__)m
2 arccos(√(x+1)/√2)=y
返信削除arccos(√(x+1)/√2)=y/2
√(x+1)/√2=cos(y/2)
(x+1)/2=(cos(y/2))^2=(1+cos(y))/2
(x+1)/2=(1+cos(y))/2
x+1=1+cos(y)
x=cos(y)
arccos(x)=y
ゆえに
2 arccos(√(x+1)/√2)=arccos(x)
微分とは無関係.
回答ありがとうございますm(__)m
返信削除理解できました!お手数おかけして申し訳ありません、感謝しております。
せっかくなので記事にしました^^
返信削除>本日の計算 y=2 arccos(√(x+1)/√2)の微分