線型とは

大学初年の理系では，線型代数学を学ぶ．
あるいは，線型性という言葉も出てくる．
線型は和と定数倍を保存するような性質で，人間が自然と思える性質をさす．


例えば．


まず，多項式は，学校で習う，最初の線型なもの．

つぎに，lim x=a，lim y=b とするとき
定数k について
lim kx=ka　　（定数倍）
lim(x+y)=a+b　　（和）
だから lim は線型性を持つ．

それから，Σa=A，Σb=B とするとき
定数k について
Σka=kA　　（定数倍）
Σ(a+b)=A+B　　（和）
だから Σ は線型性を持つ．

微分や積分も線型性を持つ．（定数倍，和）
(ku)'=ku'，(u+v)'=u'+v'
∫ku=k∫u，∫(u+v)=∫u+∫v

線型の親分はベクトルや行列で，それをまとめて線型代数学という．

さて，人間にとって自然な性質だから，何か計算違い・勘違いをするときはたいてい「線型な間違い」をするものである．

たとえば
$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{2+3}=\sqrt{5}$　としてしまう．
実際は
$\sqrt{2}+\sqrt{3}%3E\sqrt{5}$
である．

$\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin(45^\circ)+\sin(30^\circ)$　
と間違える．実際は
$\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin 45^\circ \cos 30^\circ +\cos 45^\circ \sin 30^\circ$　…加法定理

である．

あと，線型空間（ベクトル空間）というと「まっすぐな」空間．
曲がった空間M（多様体）上の点p に線型空間が存在するとき，それをTp で表して，p がM全体を動いたとき，まとめて TM と書く．
他の多様体NにもTN があって，写像f:M→N に対し，写像 D:TM→TN を f の微分といったりする．（ちょっと抽象的）