１＋１＝２とは限らない？

「２人が力を合わせると，２倍，３倍の力が出る．」
「数学では 1+1=2 だが，世の中には 1+1=2 にならないこともある．」
「世の中，計算どおりには行かない．」
とまぁ，世の中の複雑さを，数学にかこつけて表現することは多い．

1+1=2
となる数学的証明は書いた．＞ブログ記事

証明とは別に，
1+1=2
とする理由はほかにある．

数学は物事をシミュレートする言語である．
「２人が力を合わせると，２倍，３倍の力が出る．」
「数学では 1+1=2 だが，世の中には 1+1=2 にならないこともある．」
「世の中，計算どおりには行かない．」
という理由で，1+1=2 が無力なわけではない．
そもそも　1+1=2　となることがらをシミュレートするときにしか　1+1=2　を使わないといってよい．
つまり　1+1=2　となることに応用するときに限って，「1+1=2」なのである．
1+1=3　になろうが，1+1=１０　になろうが，数学では知ったこっちゃない．
1+1=2　になることが数学の対象になるだけである．
「1+1=3」という人がいたら１万円札２枚渡すから，３万円分の金券を返してほしい．

「1万円札と1万円札を，3万円と交換」することに，何か他のストーリー（シミュレート）があるならともかく，そうでなければ，頭に来たり，心配したり，心が平穏ではいられなくなる．
「1万円札と1万円札を，2万円と交換」なら，心が動揺することはなく，それが「1+1=2」という人間社会を支えている．
「1万円札と1万円札を，3万円と交換」する社会なら，お金をくるくる回して，無限に増やすことができ，たぶん誰かが困るわけだ．

数学にも1+1=2 とならないシミュレーションはある．

論理や集合算をシミュレートするブール代数では
1+1=1
になる．これは「真または真」の真偽値は「真」のシミュレートといえる．

mod 2 の剰余類や，位数２の有限体
1+1=0
mod 2 とは2で割った余りを指す．
つまり奇数を２で割ると余り1，偶数は余り0なので，奇数を「1」偶数を「0」と表現すると
「奇数+奇数=偶数」は　1+1=0
「奇数+偶数=奇数」は　1+0=1
「奇数×奇数=奇数」は　1×1=1
「奇数×偶数=偶数」は　1×0=0
と表現できる．

これらは1+1=2とは限らないシミュレートの例．

もっと簡単に，２進法表記をすれば，1+1=10 という表記になる．（二進法の10 は十進法の2 であるが）

だから，　「２人が力を合わせると，２倍，３倍の力が出る．」といったことに，論理的な整合性があれば，数学の対象となり，1+1=2 or 3 はある．それをシミュレートするストーリーを考えればよいだけである．
本来，数学は完全に人間の精神世界のものであるので，このように大変自由なものである．

しかし，1+1=2　をシミュレートしていると約束しているときに，「1+1=0」 と書くのは×であるが．