０の四則計算（0の意味）

公理から証明するスタイルではこちらのような書き方になるが，ここでは素朴な書き方をしてみた．

１．0+0=0　の理由
0とは（0の定義とは），「どんな数に 0　を足しても変わらない」という数．
つまり「すべての数 a に対して a+0=0+a=a が成り立つ」
が　0 の定義，数学的な 0の意味である．

もう少し正確に書くと，
　公理：「すべての数a に対して，足しても変わらない数が存在する．」
に対して，
　定義：「その数を0と表記する」
という手順を踏んだものになる．

ちなみに「足しても変わらない数」のことを「和の単位元」という．

もちろん a=0 でも成り立つので，0+0=0


２．0-0=0　の理由
引き算の定義は足し算の逆算
「a=b+c ⇔ a-b=c」が引き算の定義
ここで a=0，b=0，c=0 で考えると
0=0+0 ⇔ 0-0=0

数の公理ではもう少し違う．
まず和の逆元の存在．
　公理：「すべての数 a に対して，足すと和の単位元0になる数が存在する」
　定義：「a に対してその数を -a と記述する」
つまり「a+(-a)=(-a)+a=0」
その上で
　定義：「a+(-b) を a-b と略記する．」

この公理について，a=0とすれば 0 に対して -0 が存在して
「0+(-0)=0」とでき，「0+(-0)=0-0」と略記できるから「0-0=0」といえる．


３．0×0=0　の理由
まず「0倍したらなんでも0」である．
つまり「すべての数 a について　0×a=0」 が成り立つ．
その理由はまず 0=0+0 だから
　0×a
の 0 を置き換えて，
　0×a=(0+0)×a
これを展開して（分配法則の公理），
　0×a=(0×a)+(0×a)
となるが，この式は 数「(0×a)」 が足しても変わらない数を表している．
ちょっと式が大きくて見づらければ，(0×a)=M とすると，
　M=M+M
なので，数Mは足しても変わらない数を表している．

足しても変わらない数は0の定義より 「0」 と等しいはずである．
よって 0×a=0．
「0倍したらなんでも0」といえる．

ここで a=0 とすれば，0×0=0

４．0÷0 は定まらない理由
まず割り算は掛け算の逆算である．
割り算をするとき，必ず掛け算の九九を暗誦することからもわかる．
つまり 12÷3=4 である理由は 12=3×4 だからといえる．
ここで0÷0=□ とするると 0=0×□
でなければならない．
0倍して0になる□はすべての数で定まらない．
つまり，0÷0 の答えは定まらない．＞0で割る計算,0除算,割り算の意味